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两个重要的极限制作人：时间：2024年X月

目录第1章简介

第2章连续函数极限

第3章无穷小量极限

第4章应用实例1

第5章无穷小量的应用实例2

第6章总结

01第1章简介

课程目标

定义连续函数极限0103定义全等无穷小量02定义无穷小量极限

求解方法代换法

分式法

泰勒公式连续函数极限性质与定理保号准则

夹逼定理

单调有界准则

常用结论$lim(sinx)/x1$

$lim(1+1/x)^x=e$

$lim(1+x)^{1/x}=e$无穷小量极限求解方法等价无穷小代换法

洛必达法则

泰勒公式

连续函数极限连续函数极限的定义是，当自变量趋近于某个数值时，函数值也趋近于某个数值。连续函数极限在微积分学中有着广泛的应用，我们可以通过代换法、分式法和泰勒公式等方法来求解连续函数的极限。

性质与定理若函数$g(x)$在$x_0$的某个邻域内不变号，且$limlimits_{x ox_0}f(x)=A$，则$Ageqslant0$保号准则若$x_0$为函数$f(x),g(x),h(x)$的共同极限点，且存在常数$K0$，使得当$xinU(x_0,r)$时，成立$f(x)leqslantg(x)leqslanth(x)$，且$limlimits_{x ox_0}f(x)=limlimits_{x ox_0}h(x)=A$，则$limlimits_{x ox_0}g(x)=A$夹逼定理若函数$f(x)$在$x_0$的某个邻域内单调且有界，则$f(x)$在$x_0$处存在极限单调有界准则

若在极限$limlimits_{x ox_0}f(x)$中，$f(x)$与$g(x)$为等价无穷小，$h(x)$为连续函数，则$limlimits_{x ox_0}f(x)=limlimits_{x ox_0}g(x)$等价无穷小代换法0103利用泰勒公式可以将极限问题转化为求函数值的问题，常用于求解连续函数极限、无穷小量极限和定积分等泰勒公式02若在极限$limlimits_{x ox_0}f(x)/g(x)$中，当$x ox_0$时，$f(x),g(x)$均趋于0或趋于$infty$，且$limlimits_{x ox_0}f(x)/g(x)$存在，则$limlimits_{x ox_0}f(x)/g(x)=limlimits_{x ox_0}f(x)/g(x)$洛必达法则

$lim(1+1/x)^x=e$$e$是数学中的重要常数$lim(1+x)^{1/x}=e$$e$的自然对数近似值$lim(1+x)^n/(1+nx)=e$常用于计算复利常用结论$lim(sinx)/x=1$在理论推导中有重要应用

02第2章连续函数极限

一元函数的连续性数学上，连续函数是指其函数值随着自变量的改变而连续变化的函数。定义两个连续函数之和、差、积、商仍为连续函数，若f(x)和g(x)都是连续函数，并且g(x)≠0，则f(x)/g(x)也是连续函数。连续函数的运算法则f(x)sinx在[-π/2,π/2]上是连续函数。例子

一元函数的极限函数f(x)在x趋近于a（a可以是有限数、无穷大或负无穷大）时的极限是指：当x充分接近a时，f(x)可以任意接近一个实数L，则称L是函数f(x)在x=a处的极限。定义若f(x)在点x=a的某一邻域内有定义，则f(x)极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限。极限存在的充分条件例如夹逼准则、洛必达法则等。常用的一元函数极限求解方法

多元函数的连续性多元函数在自变量变化时，其函数值的变化较小，称该多元函数具有连续性。定义和一元函数类似，两个连续的多元函数的和、差、积、商仍为连续函数。多元函数的运算法则

多元函数的极限多元函数在某点（a1,a2,…,an）处极限L的定义是：当（x1,x2,…,xn）趋近于（a1,a2,…,an）时，函数值f(x1,x2,…,xn)可以无限地接近L。定义类似于一元函数的情形，极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限。极限存在的充分条件例如夹逼准则、洛必达法则等。常用的多元函数极限求解方法

一元函数的连续性在数学中，连续性是指不断推进的状态。在函数方面，连续函数指的是当自变量连续变化时，函数也连续变化的函数。

连续函数的运算法则连续函数的和与差是连续函数。函数加减的连续性连续函数的积是连续函数，若连续函数的分母不为零，则连续函数的商也是连续函数。函数乘除的连续性当内层函数是连续函数，外层函数是连续函数，则复合函数也是连续函数。复合函数的连续性sinx、cosx、e^x、x^n等函数在其定义域内均为连续函数。例子

当x接近于a时，f(x)无限地接近一个实数L，即f(x)可以任意地接近L，