大题精编03 立体几何（40题） （原卷版）-备战2025年新高考数学解答题40题满分训练（湖南专用）.docx

大题精编03立体几何（40题）（10大题型）

（平行、垂直、线面角、二面角、线段长、点面距、参数值、体积、动点、范围）

一、解答题

1．（23-24高三上·湖南株洲·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，.

??

(1)求证：平行四边形为矩形；

(2)若为侧棱的中点，且点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值.

2．（23-24高三上·湖南·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，，点M，N分别是棱，的中点．

??

(1)求证：平面；

(2)求二面角的正弦值．

3．（2024·湖南长沙·一模）正四棱柱中，分别是棱的中点，.

(1)求正四棱柱的体积；

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

（1）由正四棱柱的性质可证为平行四边形，故，从而可得，再根据相似形可求棱柱的高，故可得体积；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量后可求锐二面角的余弦值.

【详解】（1）连接，因为，

所以四边形为平行四边形，所以，

因为，所以.

因为，

所以，所以，

所以，所以，

所以.

所以正四棱柱的体积.

（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

设平面的法向量为，

，

则，

令，则，

则平面的法向量为.

设平面的法向量为，

，

则，

令，则，

则平面的法向量为.

.

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

4．（2023·湖南益阳·模拟预测）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABFE为菱形，，，，

(1)证明：；

(2)若M为线段AD的中点，求二面角的余弦值.

5．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知在直角梯形中，，，，，，、分别为线段与的中点，现将四边形沿直线折成一个五面体（如图）.

(1)在线段上是否存在点，使平面.若存在，找出点的位置：若不存在，说明理由；

(2)若二面角的大小为，求平面与平面所成夹角的余弦值.

（1）取中点，取中点，连接、、，可得四边形为平行四边形，得，再由线面平行的判定可得平面.

（2）由二面角的大小为可得为等边三角形，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，可得一面角的余弦值.

【详解】（1）

存在，为的中点，证明如下：

取中点，取中点，连接、、，

为梯形两腰中点，，

、为梯形两腰的中点，

??

于是与平行且相等，则四边形为平行四边形，得，

而平面平面，

所以平面.

（2）

依题意，平面，则平面，

又平面，即平面平面，同时即为二面角的平面角，

于是，又，则为等边三角形，

在直角梯形中，，

可得，则，

过作于点，则为的中点，如图以点为原点，建立空间直角坐标系，

??

，

设平面的法向量为，

所以，取，得，

设平面的法向量为，

则，取，得，

设平面与平面所成夹角为，则，

所以平面与平面所成夹角的余弦值为.

6．（23-24高三下·湖南株洲·阶段练习）如图，圆柱的轴截面是边长为的正方形，下底面圆周的一条弦交于点，其中，．

??

(1)证明：平面平面．

(2)在上底面圆周上是否存在点，使得二面角的正弦值为若存在，求的长若不存在，请说明理由．

7．（2024·湖南邵阳·一模）如图所示，圆台的上?下底面圆半径分别为和为圆台的两条不同的母线.分别为圆台的上?下底面圆的圆心，且为等边三角形.

(1)求证：；

(2)截面与下底面所成的夹角大小为，求异面直线与所成角的余弦值.

（2）建立空间直角坐标系，利用截面与下底面所成的夹角可求得的大小，继而利用向量夹角余弦值向量表示求解即可.

【详解】（1）证明圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，

所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.

母线与母线的延长线必交于一点，

四点共面.

圆面圆面，

且平面圆面，平面圆面.

.

（2）为等边三角形，

，如图建立空间直角坐标系，

设.

.

设平面的一个法向量.则有：

令，则.

底面的一个法向量，

因为截面与下底面所成的夹角大小为，

所以，

，

，

又坐标为.

，

.

异面直线与所成角的余弦是.

8．（2024·湖南长沙·一模）如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线进行翻折，得到如图2所示的三棱锥.

??

(1)当时，求的长；

(2)当平面平面时，求平面和平面的夹角的余弦值.

9．（23-24高三下·湖南岳阳·阶段练习）如图，三棱锥的底面和侧面都是等边三角形，且平面⊥平面，点P在侧棱上．

(1)当P为侧棱的中点时，求证：⊥平面PBC；

(2)若平面与平面夹角的大小为，求的值．

10．（2024·湖南株洲·一模）如图，四边形为直角梯形，其中，，，点为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且使，连接.

(1)求证：平面平面；

(2)求平面与平面的夹角的余弦值.

11．