2.3 等腰三角形的性质定理（解析版）.docxVIP

2.3等腰三角形的性质定理

了解等腰三角形和等边三角形的概念

掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理和判定定理

掌握有一个角是30°的直角三角形的性质

知识点一等腰三角形的性质

1.性质1

等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).

数学语言:如图所示,在△ABC中，∵AB=AC,∴∠B=∠C.

拓展：由“等腰三角形的两个底角相等”,可以得到以下推论:等边三角形的各个内角都等于60°

2.性质2

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)数学语言:如图所示,在△ABC中，

∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴

∵AB=AC，BD=CD，∴∠BAD=∠CAD，ADBC;

∵AB=AC,ADBC,∴∠BAD=∠CAD,BD=CD.

知识点二等腰三角形的其他性质

(1)等腰三角形两腰上的中线、高分别相等

(2)等腰三角形两底角的平分线相等

(3)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高

(4)当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形,它的两条直角边相等,两个锐角都是45°

注意：

(1)应用“三线合一”性质的前提是在等腰三角形中,且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线.等腰三角形一腰上的高与中线不一定重合.

(2)等腰三角形是轴对称图形顶角平分线(或底边上的高,或底边上的中线)所在的直线是它的对称轴

即学即练1（2021春·福建漳州·八年级福建省诏安县第二实验中学校考阶段练习）已知等腰三角形的一个角为40°，求它另外两个角的度数．

【答案】另外两个角的度数是70°，70°或40°，100°

【分析】由等腰三角形的一个角是40度，可以分为若40°的角是顶角与若40°的角是底角去分析求解．

【详解】解：若40°的角是顶角，则底角为：12（180°-40°）=70°

∴此时另外两个角的度数是70°，70°；

若40°的角是底角，则另一底角为40°，

∴顶角为：180°-40°-40°=100°，

∴此时另外两个角的度数是100°，40°．

∴另外两个角的度数是：70°，70°或40°，100°．

【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．解题的关键是注意分类讨论思想的应用，注意别漏解．

即学即练2（2023春·山东青岛·八年级统考期末）等腰三角形的一个角100°，它的另外两个角的度数分别为．

【答案】40°，40°

【分析】先判断出100°的角是顶角，再根据等腰三角形的两底角相等解答．

【详解】解：∵等腰三角形的一个角100°

∴100°的角是顶角

∴另两个角是1

即40°，40°

故答案是：40°，40°

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．

即学即练3（2022春·山东淄博·七年级统考期末）证明：等腰三角形两底角的平分线相等．（请写出已知，求证，证明过程，并画出图形）

【答案】见解析

【分析】根据等腰三角形的性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．

【详解】解：已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分线．

求证：BD=CE，

证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵BD，CE是△ABC的角平分线，

∴∠ABD=12∠ABC，∠ACE=12

∴∠ABD=∠ACE，

∵AB=AC，∠A=∠A，

∴△ABD≌△ACE（ASA），

∴BD=CE．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

题型一根据等边对等角求角度

例1（2023秋·浙江杭州·八年级杭州市公益中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，则∠E的度数为（）

??

A．40° B．60° C．70° D．80°

【答案】D

【分析】在BC上截取BF=AB，连DF，可得△ABD≌△FBD，得出对应边、对应角相等，进而又得出△DCE≌△DCF，即可求解．

【详解】解：在BC上截取BF=AB，连DF，

??

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠FBD，

∵在△ABD和△FBD中，

AB=FB∠ABD=∠FBDBD=BD

∴△ABD≌△FBDSAS

∴DF=DA=DE，∠BAC=∠DFB，

又∵AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC=40°，

∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=100°，

∴∠DFC=180°-∠DFB=180°-∠BAC=80°，

∴∠FDC=180°-∠ACB-∠DFC=60°，

∵∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠BA