数学分析课件第四版华东师大研制--第5章-导数和微分.pptx

§1导数的概念

导数是微分学的核心概念，是研究函数

与自变量关系的产物，又是深刻研究函数性

态的有力工具.无论何种学科，只要涉及“变化率”,就离不开导数.

一、导数的概念

二、导函数

三、导数的几何意义

一、导数的概念

一般认为，求变速运动的瞬时速度，求已知曲线

上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是

微分学产生的三个源头。牛顿和莱布尼茨就是分

别在研究瞬时速度和曲线的

切线时发现导数的.下面是

两个关于导数的经典例子.

牛顿(1642-1727,英国)

当t越来越接近t₀时，平均速度就越来越接近t₀

时刻的瞬时速度.严格地说，当极限

(1)

1.瞬时速度设一质点作直线运动，质点的位置s是

时间t的函数，即其运动规律是s=s(t),则在某

时刻t₀及邻近时刻t之间的平均速度是

存在时，这个极限就是质点在t₀时刻的瞬时速度.

2.切线的斜率如图所示，需要寻找曲线y=f(x)在

其上一点P(x₀,y₀)处的切线

PT.为此我们在P的邻近取一y

点Q,作曲线的割线PQ,这

条割线的斜率为

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设想一下，当动点Q沿此曲线无限接近点P时，k

的极限若存在，则这个极限

(2)

会是什么呢?

答：它就是曲线在点P的切线PT的斜率

上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同

一类型的数学问题：求函数f在点x₀处的增量

△y=f(x)-f(x₁)与自变量增量△x=x-x。之比

的极限.这个增量比称为函数f关于自变量的平

均变化率，增量比的极限(如果存在)称为f在点

x₀处关于x的瞬时变化率(或简称变化率).

定义1设函数y=f(x)在点x₀的某邻域内有定

义，如果极限

(3)

存在，则称函数f在点x₀可导，该极限称为f在

x₀的导数，记作f(x₀).

如果令△x=x-x₀,△y=f(x₀+△x)-f(x₀),导数就

可以写成

(4)

这说明导数是函数增量△y与自变量增量△x之比

的极限，即f(x₀)就是f(x)关于x在x₀处的变化率.如果(3)或(4)式的极限不存在，则称f(x)在

点x₀不可导.

例1求函数y=x³在x=1处的导数，并求该曲

线在点P(1,1)的切线方程.

解因为△y=f(1+△x)-f(1)=(1+△x)³-1

=3△x+3△x²+△x³,

由此可知曲线y=x³在点P(1,1)的切线斜率为

k=f(1)=3,

于是所求切线方程为y-1=3(x-1),

即y=3x-2.

所以

例2常量函数f(x)=c在任何一点x的导数都为

零.这是因为△y=0,所以f(x)=0.

例3证明函数f(x)=|x|在x=0处不可导.

证因为

当x→0时它的极限不存在，所以f(x)在x=0

处不可导.

在x=0处不可导.

证因为当x→0时，

不存在极限，所以f在x=0处不可导.

例4证明函数

是当△x→0时的无穷小量，于是ε△x=o(△x).

这样，函数f(x)的增量可以写成

△y=f(x₀)△x+o(△x).(5)

(5)式称为f(x)在点x₀的有限增量公式，这个公

式对△x=0仍然成立.

根据有限增量公式即可得到下面定理。

有限增量公式设f(x)在点x₀可导，则

定理5.1如果函数f在点x₀可导，则f在点x₀

连续.

值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可

导的必要条件.如例3、例4中的函数均在x=0

处连续，却不可导.

例5证明函数f(x)=x²D(x)仅在x=0处可导，

其中D(x)是熟知的狄利克雷函数.

证当x₀≠0时，用归结原理容易证明f(x)在点x₀

不连续，由定理5.1,f(x)在点x₀不可导.

当x₀=0时，因为D(x)≤1,所以有

由于导数是一种极限，因此如同左、右极限那样，

可以定义左、右导数(单侧导数).

定义2设函数y=f(x)在点x₀的某个右邻域

(x₀,x₀+δ)上有定义，如果右极限

存在，则称该极限为f(x)在点x₀的右导数，记作

fí(x₀).类似地可以定义左导数，合起来即为：

(6)

右导数和左导数统称为单侧导数.

类比左、右极限与极限的关系，我们有：

定理5.2如果函数y=f(x)在点x₀的某个邻域内有

定义，则f(x₀)存在的充要