对坐标的曲线积分26247.pptVIP

节

一、对坐标的曲线积分的概念与性质

二、对坐标的曲线积分的计算法

三、两类曲线积分之间的联系

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对坐标的曲线积分

2021/5/241

一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移“分割”“近似”“求和”“取极限”常力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.机动目录上页下页返回结束2021/5/242

1)“分割”.2)“近似”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F沿则用有向线段上任取一点在机动目录上页下页返回结束2021/5/243

3)“求和”4)“取极限”(其中?为n个小弧段的最大长度)机动目录上页下页返回结束2021/5/244

2.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作机动目录上页下页返回结束2021/5/245

在空间曲线弧?上的对坐标的曲线积分为:称为称为类似地,机动目录上页下页返回结束对y的曲线积分.对x的曲线积分;2021/5/246

3.性质(1)若L可分成k条与L同向的光滑曲线弧(2)用L－表示L的反向弧,则,则定积分是第二类曲线积分的特例.说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!机动目录上页下页返回结束2021/5/247

二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,存在,且有机动目录上页下页返回结束注:不一定小于.2021/5/248

特别是,如果L的方程为则对空间光滑曲线弧?:类似有定理目录上页下页返回结束2021/5/249

例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则解法2取y为参数,则从点的一段.机动目录上页下页返回结束2021/5/2410

例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则机动目录上页下页返回结束2021/5/2411

例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线解:(1)原式(2)原式(3)原式机动目录上页下页返回结束2021/5/2412

例4.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取?的参数方程机动目录上页下页返回结束2021/5/2413

三、两类曲线积分之间的联系设L的参数方程为则L的切向量为机动目录上页下页返回结束所以所以L的切向量的方向余弦为2021/5/2414

类似的，有机动目录上页下页返回结束则两类曲线积分有如下联系2021/5/2415

例5.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周机动目录上页下页返回结束所以L的切向量为则L的切向量的方向余弦为所以因为L的方程为2021/5/2416

1.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(2)L－表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结机动目录上页下页返回结束2021/5/2417

3.计算?对有向光滑弧?对有向光滑弧机动目录上页下页返回结束2021/5/2418

4.两类曲线积分的联系?对空间有向光滑弧?:机动目录上页下页返回结束2021/5/2419

原点O的距离成正比,思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:F的大小与M到原F的方向力F的作用,求力F所作的功.思考:若题中F的方