奇点与留数习题课.ppt

奇点与留数一、重点与难点二、内容提要1.孤立奇点的概念与分类i)可去奇点iii)本性奇点3)函数的零点与极点的关系2.函数在无穷远点的性态3.留数2)留数的计算方法3)无穷远点的留数定理4.留数在定积分计算上的应用2）无穷积分特别地5.对数留数辐角原理三、典型例题解故是的一阶极点.故是的一阶极点.例2求函数的奇点，并确定类型.解是奇点.是二级极点;是三级极点.例3证明是的六级极点.证例4求函数的奇点，并确定类型.解是奇点.是二级极点;是三级极点.解例5计算*一、重点与难点二、内容提要三、典型例题重点：难点：留数的计算与留数定理留数定理在定积分计算上的应用留数计算方法可去奇点孤立奇点极点本性奇点函数的零点与极点的关系对数留数留数定理留数在定积分上的应用辐角原理儒歇定理1）定义如果函数在不解析,但在的某一去心邻域内处处解析,则称为的孤立奇点.孤立奇点奇点2）孤立奇点的分类依据在其孤立奇点的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类:i)可去奇点;ii)极点;iii)本性奇点.定义如果洛朗级数中不含的负幂项,那末孤立奇点称为的可去奇点.ii)极点定义如果洛朗级数中只有有限多个的负幂项,其中关于的最高幂为即级极点.那末孤立奇点称为函数的或写成极点的判定方法在点的某去心邻域内其中在的邻域内解析,且的负幂项为有的洛朗展开式中含有限项.(a)由定义判别(b)由定义的等价形式判别(c)利用极限判断.如果洛朗级数中含有无穷多个那末孤立奇点称为的本性奇点.的负幂项,注意:在本性奇点的邻域内不存在且不为i)零点的定义不恒等于零的解析函数如果能表示成其中在解析且m为某一正整数,那末称为的m级零点.ii)零点与极点的关系如果是的m级极点,那末就是的m级零点.反过来也成立.综上所述:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点洛朗级数特点存在且为有限值不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项关于的最高幂为1).定义如果函数在无穷远点的去心邻域内解析,则称点为的孤立奇点.Rxyo令变换规定此变换将:映射为扩充z平面扩充t平面映射为映射为映射为结论:在去心邻域内对函数的研究在去心邻域内对函数的研究因为在去心邻域内是解析的,所以是的孤立奇点.规定:m级奇点或本性奇点.的可去奇点、m级奇点或本性奇点,如果t=0是是的可去奇点、那末就称点(1)不含正幂项;(2)含有有限多的正幂项且为最高正幂;(3)含有无穷多的正幂项;那末是的1)可去奇点;2)m级极点;3)本性奇点.判别法1(利用洛朗级数的特点)2).判别方法:在内的洛朗级数中:如果判别法2:(利用极限特点)如果极限1)存在且为有限值;2)无穷大;3)不存在且不为无穷大;那末是的1)可去奇点;2)m级极点;3)本性奇点.记作定义如果的一个孤立奇点,则沿内包含的任意一条简单闭曲线C的积分的值除后所得的数称为以1)留数定理设函数在区域D内除有限个孤外处处解析,C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,那末立奇点留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.(1)如果为的可去奇点,则如果为的一级极点,那末a)(2)如果为的本性奇点,则需将成洛朗级数求展开(3)如果为的极点,则有如下计算规则c)设及在如果那末为一级极点,且有都解析，如果为的级极点,那末b)也可定义为记作1.定义设函数在圆环域内解析C为圆环域内绕原点的任何一条