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条件期望与方差的性质及其应用

摘要条件期望与条件方差是概率论中一个重要概念，在数学中的应用很广泛，在解决生活问题也常常用到.本文首先介绍了条件数学期望的和条件方差的定义及其相关性质，然后通过举例说明了条件期望与方差在线性预测、Wald方程、Markov过程、鞅论等方面的应用.从而进一步加深了对条件期望和方差的理解.

关键词条件期望条件方差Wald方程线性预测Markov过程

1.引言

目前，随着概率的应用越来越广泛，条件期望与条件方差也越来越受重视，研究条件期望与条件方差有巨大的理论价值.期望在现实生活中的应用在很多书上没有系统的给予论述，这篇文章从条件期望与条件方差的定义及其性质出发，研究条件期望与条件方差在一些具体方面的应用，为科学的理解其应用给出依据.

2.条件期望与方差的定义及其性质

2.1条件期望和条件方差的定义

定义1设(ξ,η)为二维离散型随机变量，其联合概率分布列为

p(ξ=Xk，η=Yl）=pkl,(k，l=1,2，……).

父

1）若p(η=Yl）0，且级数Xkp(ξ=Xkη=Yl）绝对收敛,即

父

Xkp(ξ=Xkη=Yl）父.

父

则称Xkp(ξ=Xkη=Yl）为ξ在给定η=Yl条件下的条件期望.

记作E(ξη=Yl），即

父

E(ξη=Yl）defXkp(ξ=Xkη=Yl）

父

若级数Xkp(ξ=Xkη=Yl）发散，就说ξ在给定η=Yl条件下的条件期望不存

在.

父

2）若p(ξ=Xk）0，且级数Ylp(η=Ylξ=Xk）绝对收敛,即

父

Ylp(η=Ylξ=Xk）+父.

父

则称Ylp(η=Ylξ=Xk）为η在给定ξ=Xk条件下的条件期望.

记作E(ηξ=Xk），即

安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文

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父

E(ηξ=Xk）defYlp(η=Ylξ=Xk）

父

若级数Ylp(η=Ylξ=Xk）发散，就说η在给定ξ=Xk条件下的条件期望不存

在.

例1(ξ,η)的联合概率分布列

ξ

η

0

1

2

3

4

0

0

0

1

21

2

21

1

42

1

0

1

14

2

7

1

7

0

2

1

70

1

7

1

7

0

0

3

1

105

1

42

0

0

0

求E(ξη=1）及E(ηξ=2）

解ξ与η的边际分布列分别为

01230123ξ~（）,

01230123

16123101301425211021521

由于p(η=1）=，可得

E(ξη=1）=kp(ξ=kη=1）=k=

所以

E(ξη=1）=1.8

又由p(ξ=2）=，可得

E(ηξ=2）=lp(η=lξ=2）=l=

所以

E(ηξ=2）=

定义2设(ε,η)为二维连续随机变量，其联合概率密度函数为p（x,y）

1）若pη（y）0，且积分xpξη(xy)dx绝对收敛，即：

∫一+父父xpξη(xy)dx+父

则称∫一+父父xpξη(xy)dx为ξ在给定η=y条件下的条件期望.

记作E(ξη=y），即

E(εη=y）def∫一+父父xpξη(xy)dx

4

)

142

1.8

10

7

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若积分xpξη(xy)dx发散，就说ξ在给定η=y条件下的条件期望不存在.2）若pξ（x）0，且