重难点专题08 极值点偏移的十大类型（原卷版）.docxVIP

重难点专题08极值点偏移的十大类型

TOC\o1-3\h\z\u题型1加法型构造一元差函数 1

题型2乘法型构造一元差函数 2

题型3构造辅助函数+构造一元差函数 3

题型4比值代换法 5

题型5对数均值不等式法 6

题型6加法型汇总 7

题型7减法类型 8

题型8乘积型汇总 9

题型9平方类型 10

题型10商类型 11

题型1加法型构造一元差函数

极值点偏移问题中（极值点为x0），证明x1+

①构造Fx

②确定Fx

③结合特殊值得到fx2-f2x0-x

④利用fx的单调性即可得到x1+

【例题1】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数fx

(1)求实数a的值；

(2)若存在x1≠x2，使得

【变式1-1】1.（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(

(1)求f(x

(2)若fx1=fx

【变式1-1】2.（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知函数fx

(1)当x≥1时，fx≥0

(2)若函数fx有两个极值点x1,

【变式1-1】3.（2022·江苏南通·高三期中）已知fx=

(1)求a的值；

(2)若关于x的方程fx=t在0,3上有两个不相等的实数根x1，

【变式1-1】4.（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模）已知函数fx=x

(1)求函数fx

(2)若函数fx在x=e处取得极值，fx是函数fx

题型2乘法型构造一元差函数

处理极值点偏移问题中的类似于x1x2

①求导确定fx的单调性，得到x

②构造函数Fx=f

③得到fx1与fax1

④根据x2与ax1所处的范围，结合fx的单调性，可得到x

【例题2】（2022·北京市房山区良乡中学高三期中）已知函数f

(1)求函数fx

(2)设函数gx=fx+

①求a的取值范围；

②求证：x1

【变式2-1】1.（2023秋·辽宁丹东·高三统考期末）已知函数f(

(1)证明：若a≤e+1

(2)证明：若f(x)有两个零点x1，

【变式2-1】2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(

(1)若x≥1时，f(x

(2)当a=1时，方程f(x)=b

【变式2-1】3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx

(1)求fx在1,+∞

(2)设gx=fx+xe

【变式2-1】4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx

(1)证明：fx

(2)若函数hx=2xfx，若存在x1

题型3构造辅助函数+构造一元差函数

极值点偏移问题的一般题设形式：

1.若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1

2.若函数f(x)中存在x1,x2且x1≠

3.若函数f(x)存在两个零点x1,x2

4.若函数f(x)中存在x1,x2且x1

【例题3】（2023秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考开学考试）已知函数fx=alnx

(1)当a=1时，求函数y

(2)已知x1，x2∈0,+∞

【变式3-1】1.（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知函数fx=ax

(1)讨论函数fx

(2)若关于x的方程fx=xex

（ⅰ）求实数a的取值范围；

（ⅱ）求证：ex

【变式3-1】2.（2023·山东日照·统考二模）已知函数fx

(1)若fx≥1恒成立，求实数

(2)若x10，x20，

【变式3-1】3.（2022秋·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知函数f(x)=2

（1）讨论函数f(

（2）若x1,x2∈

【变式3-1】4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx

(1)讨论fx

(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna-

题型4比值代换法

比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值（一般用t表示）表示两个极值点，即t=x1

【例题4】（2023·北京通州·统考三模）已知函数f

(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-

(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.

(3)已知gx=fx+ax有两个零点x

【变式4-1】1.（2022·全国·高三专题练习）设函数fx

(1)若k=1，求f

(2)若f(x)存在三个极值点x1,x2

【变式4-1】2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x2

(1)求函数f(

(2)当a1时，若方程f(x

（ⅰ）证明：lnx

（ⅱ）证明：f

【变式4-1】3.（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数fx=

(1)求a的取值范围；

(2)记两个极值点为x1,x2，且x1

【变式4-1】4.（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx

(1)设函数gx=tx-

(2)求证：f