重难点专题05 与几何意义有关的函数问题（解析版）.docxVIP

重难点专题05与几何意义有关的函数问题

TOC\o1-3\h\z\u题型1类比斜率 1

题型2类比两点间距离 5

题型3类比点到直线距离 11

题型4类比直线与曲线的位置关系 15

题型5类比和差距离问题 18

题型6绝对值中的距离问题 19

题型7两曲线间点的距离 20

题型1类比斜率

形如nm的形式，用几何意义来理解

【例题1】（2020秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考阶段练习）已知fx是定义在R上的增函数，函数y=fx-1的图象关于点1,0对称，若实数m，n满足等式

A．2-233

C．2-233

【答案】C

【分析】由函数fx是递增函数，且y=fx-

再结合fn-3

【详解】fx是定义在R上的增函数，且函数y=f

所以函数fx

又fn

所以n-3+

即m-

画出不等式组表示的图形，如图所示，

所以nm表示圆弧上的点m,n

所以结合图象可得：nm的最大值是直线OA的斜率，为3-0

最小值是直线OB的斜率，不妨设为k，

则n=

消去n，得m-

整理得k2

令Δ=

化简得3k

解得k=2±

应取k=2-

所以nm的取值范围是：2-

故选：C．

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，函数与方程的综合运用，考查数形结合思想．解题分两部分，一部分是由函数单调性与奇偶性化fn-3+f4m

【变式1-1】1.（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)=

A．-22 B．-1 C．-

【答案】B

【分析】对fx变形，得到f(x)=-11+(1-cosx1-sinx)?

【详解】当sinx=1

当sinx≠1时,因为

令g(x)=1-cosx1-sinx，

所以-1?-

综合得，f(x

故最小值为：-1

故选：B.

【变式1-1】2.（2022秋?上城区校级期中）函数f(x)=

【答案】-

【分析】令x=cosα(0≤

【详解】令x=

则y=

它表示半圆x2+y2=1(

由图象得当AB与半圆相切时，函数y=

此时OB=1,OA=2,

kAB

即y=f(

故答案为：-3

【变式1-1】3.（2020?泰州一模）已知实数a，b，c满足a2＋b2＝c2，c≠0，则ba-2

【答案】-

【详解】由a2＋b2＝c2可设a＝csinx，b＝ccosx，＝＝，可以理解为点(2，0)与单位圆上的点连线的斜率的范围，而两条切线的斜率为±，则的取值范围为.

题型2类比两点间距离

形如(x-a)2

【例题2】（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）设a0，b∈R，已知函数fx=xe

A．e26 B．e25 C．

【答案】B

【分析】设函数fx的零点为t，可得t-3a+b+t

【详解】函数fx=x

则1≤t≤3，且tet

所以点a,b在直线

又a2+b

故a2

所以a2

设gt

则g

故g

设ht

则h

因为1≤t≤3，所以

所以函数ht=t

所以当1≤t≤3时，

故当1≤t≤3时，gt0

所以gt

所以当-2a+b+e=0

所以当a=2e5,

故选：B.

【点睛】知识点点睛：本题考查函数零点的定义，直线方程的定义，点到直线的距离，两点之间的距离，利用导数求函数的最值，考查数学运算，数形结合等数学思想.

【变式2-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知实数a,b满足(a+2)2+

【答案】8

【分析】求出圆心C-2,3到曲线y=ln

【详解】因为实数a,b满足(a+2)2+(b

而C-2,3，设

则gx表示C到曲线y=

又g

因为hx=x2+2

故当x∈0,1时，hx0即gx0

故gx在0,1上为减函数，在1,+∞为增函数，故gx的最小值为

故C-2,3到曲线y=

而圆C的半径为2，故圆C上的点到曲线y=lnx

故(x-a)2

故答案为：8.

??

【点睛】思路点睛：与圆有关的最值问题，往往需要转化到圆心到几何对象的最值问题来处理，另外注意代数式对应的几何意义.

【变式2-1】2.（2022秋·河南南阳·高三统考期中）不等式ea-b2+a-b

【答案】[-1,2]

【分析】设P(a,ea),Q(b+1,b)，则可得PQ2≥m2

【详解】由题意设P(a,ea

因为P,Q分别在曲线f(

所以将直线y=x-1平移恰好与曲线f(

设切线为y=x+m，切点为(x

所以ex0=1，得x

所以PQ的最小值为点(0,1)到直线y=x-1的距离

即PQ的最小值为2，

所以2≥m2-m，即

所以实数m的取值范围是[-1,2]，

故答案为：[-1,2]

【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为P(a,ea),Q(

【变式2-1】3.（2021?南京一模）若实数x、y满足x-4y=2x

【答案】{0}∪[4,20]

【详解】令y=a,

且题设等式化为