增分微课(一)　构造法在解决函数、导数问题中的应用（原卷版）.docxVIP

增分微课(一)构造法在解决函数、导数问题中的应用

类型一导数型构造法

例1已知函数y=f(x)的导函数为y=f(x),对任意的实数x,都有f(x)f(x)且f(1)=e,则不等式f(lnx)x的解集为 ()

A.(e,+∞) B.(1,+∞)

C.(0,e) D.(0,1)

[总结反思]一般地,若知xf(x)+f(x)的符号,则构造函数g(x)=xf(x);若知xf(x)+nf(x)的符号,则构造函数g(x)=xnf(x);若知xf(x)-f(x)的符号,则构造函数g(x)=f(x)x;若知xf(x)-nf(x)的符号,则构造函数g(x)=f(x)xn;若知f(x)+f(x)的符号,则构造函数g(x)=exf(x);若知f(x)+nf(x)的符号,则构造函数g(x)=enxf(x);若知f(x)-f(x)的符号,则构造函数g(x)=f

变式题已知f(x)为定义在R上的可导函数,且f(x)f(x)对于x∈R恒成立,e为自然对数的底数,则 ()

A.e2019·f(2020)e2020·f(2019)

B.e2019·f(2020)=e2020·f(2019)

C.e2019·f(2020)e2020·f(2019)

D.e2019·f(2020)与e2020·f(2019)大小不确定

类型二同构法构造函数

例2(1)若2a+log2a=4b+2log4b,则 ()

A.a2b B.a2b

C.ab2 D.ab2

(2)已知不等式ex-x-1m[x-ln(x+1)]对一切正数x都成立,则实数m的取值范围是 ()

A.-∞,e3 B.-∞,e2

C.(-∞,1] D.(-∞,e]

[总结反思](1)在成立或恒成立问题中,有一部分题目是利用函数单调性构造出来的,如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数),那么无疑大大加快了解决问题的速度.找到这个函数模型的方法,我们称为同构法.例如:若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)]≥f[h(x)],然后利用f(x)的单调性,如单调递增,再转化为g(x)≥h(x),这种方法我们就可以称为同构不等式法(等号成立时,称为同构方程法),简称同构法.

(2)同构法的三种基本模式:①乘积型,如aea≤blnb可以同构成aea≤(lnb)elnb,进而构造函数f(x)=xex;②比商型,如eaablnb可以同构成ealneablnb,进而构造函数f(x)=xlnx;③和差型,如ea±ab±

变式题设函数f(x)=ex-e-x2+sinx,不等式f(a-xex)+f(lnx+x+1)≤0恒成立,

A.e-1 B.1

C.e-2 D.0

1.已知函数f(x)=2x3lnx-(m-x)emx-1,当x≥e时,f(x)≥0恒成立,则实数m

A.(-∞,4e] B.(-∞,3e]

C.(-∞,2e] D.-∞,3e2

2.已知函数f(x)=mln(x+1)-3x-3,若不等式f(x)mx-3ex在(0,+∞)上恒成立,则实数m的取值范围是 ()

A.0≤m≤3 B.m≥3

C.m≤3 D.m≤0

3.已知定义在R上的可导函数f(x)满足(1-x)f(x)+xf(x)0,若y=f(x+2)-e3是奇函数,则不等式xf(x)-2ex+10的解集是 (

A.(-∞,2) B.(-∞,1)

C.(2,+∞) D.(1,+∞)

4.(多选题)设f(x)为函数f(x)的导函数,已知x2f(x)+xf(x)=lnx,f(1)=12,设g(x)=xf(x),则下列结论不正确的是 (

A.g(x)在(0,+∞)上单调递增

B.g(x)在(0,+∞)上单调递减

C.g(x)在(0,+∞)上有极大值1

D.g(x)在(0,+∞)上有极小值1

5.(多选题)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),导函数为f(x),xf(x)-f(x)=xlnx,且f1e=1e,则 ()

A.f1e=0

B.f(x)在x=1e

C.0f(1)1

D.f(x)在(0,+∞)上单调递增

6.若0x1x21,则一定有 ()

A.ex2-ex1

B.ex1-ex2

C.x2ex1x

D.x2ex1x

7.已知实数x1,x2满足x1ex1=e3,x2(lnx2-2)=e5,则x1x2=

8.已知函数f(x)=3x-3-x,f(1-2log3t)+f(3log3t-1)≥-log3t,则t的取值范围是.?