重难点专题08 极值点偏移的十大类型（解析版）.docxVIP

重难点专题08极值点偏移的十大类型

TOC\o1-3\h\z\u题型1加法型构造一元差函数 1

题型2乘法型构造一元差函数 10

题型3构造辅助函数+构造一元差函数 17

题型4比值代换法 28

题型5对数均值不等式法 37

题型6加法型汇总 46

题型7减法类型 55

题型8乘积型汇总 68

题型9平方类型 77

题型10商类型 86

题型1加法型构造一元差函数

极值点偏移问题中（极值点为x0），证明x1+

①构造Fx

②确定Fx

③结合特殊值得到fx2-f2x0-x

④利用fx的单调性即可得到x1+

【例题1】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数fx

(1)求实数a的值；

(2)若存在x1≠x2，使得

【答案】(1)a

(2)证明见解析

【分析】（1）根据f(1)=0求出

（2）分类讨论x1和x2，转化为证明当0x11，0x22时，x1+

【详解】（1）f(x)

f(x)=1-π

此时f

当0x1时，0π2xπ2，0π

当1x2时，π2π2xπ，π

故f(x)在

综上所述：a=1

（2）由（1）知，f(

不妨设0x

当1≤x1

当0x11，x

当0x11，0x22时，由（1）知f(x)

要证x1+x

因为1x22，所以02-x2

所以只要证f(x1)f

设F(x)=

则F(x)=

=2-(

=2-(

=2-(1

令g(x)=2-(1x

因为1x2，所以g(x)0，

即F

所以F(x)

所以F(x)

综上所述：x1

【点睛】方法点睛：对于含双变量的不等式的证明一般采用以下两种方法：

①比值代换：设x1x2

②构造函数F(x)=f

【变式1-1】1.（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(

(1)求f(x

(2)若fx1=fx

【答案】(1)极大值为-e，f(

(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数求出函数的单调性即得解；

（2）由（1）可知0x21x3，设g(x)=

【详解】（1）（1）由题意可得f

当x0或x1时，f(x

所以f(x)在(-∞,0)与(1,+∞)上单调递增，在

故f(x)的极大值为f(0)=-e

（2）证明：由（1）可知0x

设g(x)=

则g

=e

设h(x)=

因为=4-12e0，所以h(x)0在

因为h(x)h(1)=0，所以g(x

因为g(x)g(1)=0，所以

因为x2∈(0,1

因为fx2=

由（1）可知f(x)在(1,+∞)上单调递增，且x

则x32-x

【变式1-1】2.（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知函数fx

(1)当x≥1时，fx≥0

(2)若函数fx有两个极值点x1,

【答案】(1)1,+

(2)证明见解析

【分析】（1）参变分离可得a≥3x-2xln

（2）求出函数的导函数，依题意可得函数y=a与函数h(x)=x-2xlnx，x∈0,+∞

【详解】（1）当x≥1时，f(x

令g(x)=

则g

∴函数g(x)

∴g

∴a

∴a的取值范围是1,+

（2）函数f(x)=(2

则f

∵函数f(x)有两个极值点x

∴fx=0有两个正实数解?方程a=x-2x

hx=1-2-2lnx

当0x1e时hx0，则h

∴函数h(x)

又0x1e时hx=x

∴0a

不妨设0x

要证明x1+x

令F(x)=hx-h

所以F

=-2ln

当且仅当x=2e

∴函数F(x)

∵F1e=0，

因此x1

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

【变式1-1】3.（2022·江苏南通·高三期中）已知fx=

(1)求a的值；

(2)若关于x的方程fx=t在0,3上有两个不相等的实数根x1，

【答案】(1)3

(2)证明见解析

【分析】（1）求导，分a=0、a0和a0

（2）构造函数gx=fx-f4-x0x2，根据gx的单调性和g0=0得到fx2-f4-x2

【详解】（1）因为fx=x

当a=0时，f

所以fx单调递增，没有极值，舍去

当a0时，在区间-∞,2a

在区间2a3,0上，f

在区间0,+∞上，fx

所以当x=0时，fx的极小值为

当a0时，在区间-∞,0上，f

在区间0,2a3上，f

在区间2a3,+∞上，

所以当x=2a3时，

所以a=3

（2）由（1）知，在区间-∞,0上，f

在区间0,2上，fx0

在区间2,+∞上，fx

所以不妨设0x

下面先证x1

即证x14-x2，因为

又因为区间0,2上，fx

只要证fx1

只要证fx2

设gx

则g

所以gx

所以gxg

下面证3x

设hx=2x

在区间0,2上，fxhx；在区间2