重难点专题04 函数中的双变量问题（解析版）.docxVIP

重难点专题04函数中的双变量问题

TOC\o1-3\h\z\u题型1二次函数中的双变量问题 1

题型2构造函数法 9

题型3同构法 13

题型4换元法（整体法） 19

题型5选取主元法 22

题型6变换主元法 25

题型7参变分离 30

题型1二次函数中的双变量问题

一元二次函数中的双变量问题，注意对称轴的使用

【例题1】（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）二次函数y=x2-2x+2与

【答案】8

【分析】根据交点处切线垂直得到a+b=5

【详解】解：设该交点为x1

因为fx=2

因为gx=-2

因为两函数在交点处切线互相垂直，

所以2x1-

分别化简得-2x1

上述两式相加得a+b=

其中5a

当且仅当5ba=4ab

故所求最小值为85

故答案为：85

【点睛】切线问题是导数中常遇到的问题，本题设交点坐标，根据交点处切线垂直得到等式，再转化为基本不等式中的最值问题.

【变式1-1】1.（2022秋·江苏宿迁·高三校考开学考试）已知二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0)，满足f(x

【答案】-4

【分析】由f(x+1)为偶函数可以得到函数f(x)=ax2+

【详解】∵f(x+1)为偶函数???∴

又f(x)=

∴f

∴f

∴3

∵f(x

∴fm

∴m,n

-1

∴

故答案为：-4

【变式1-1】2.（2023·河北·高三考试）已知二次函数fx=ax2+bxa,b∈R，满足f

A．[-2，0] B

C．[-2，0) D

【答案】C

【分析】利用f1-x=f1+x求出二次函数对称轴，得到a,b的关系，再利用最大值来确定a,b的值，从而确定fx的解析式，然后画出

【详解】解：已知二次函数fx=ax2

即x=1是函数f

即-b

即b=-2

∴f

又∵fx在区间-1,0

若a0，则fx在区间

∴f

解得：a=1

此时，fx

若a0，则fx在区间

fx

综上所述：fx

若函数gx

即方程fx

画出y=fx和

当m=0时，y=f

当m0时，由mx

即x2

令Δ=

解得：m=2

由图象可知：m≥2时，y=f

当0m2时，y=

当m0时，且y=mx

y=

可得：mx=

即x2

可得判别式Δ=-

解得：m=-2

由图象可知：-2≤

y=fx

综上所述：m的取值范围[-2，

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是求出fx的解析式，并利用数形结合的思想对m进行分类讨论

【变式1-1】3.（2023·全国·高三专题练习）已知fx是二次函数，f-2=0，且2x

【答案】36

【分析】法一：由f-2=0，可设fx=x+2ax+b=ax2+2a+bx

法二：由2x≤fx≤x2+42?0≤fx

【详解】法一：

由f-2=0

则由fx≥2x

所以a≥0且(2a+

由fx≤x

若2a-1=0则必有4

所以2a-1≤0

整理后为4a

与4a2+

即(2a-b

所以fx

又由于在原不等式中令x=2可得4≤f2≤4，所以

所以fx

法二：

2x

令gx=fx-

若m≠2

12

于是am-20时，存在

am-20时，存在

故m=2，令x=-2，则

于是fx=g

故答案为：36.

【变式1-1】4.（2023·全国·高三专题练习）设二次函数fx=mx2-2x+nm,

【答案】[1,13]

【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简m2n

【详解】二次函数f(x)对称轴为x=

∵f(x)值域为0,+∞

∴m0且f1m=0?

f(1)≤2?

∵m

=m2+n22-

∴m2+n

∴m2n

故答案为：[1,13].

【变式1-1】5.（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c均为正数)过点1,1，值域为0,+∞，则ac的最大值为；实数

【答案】116

【分析】由题意a+b+c=1(a0,b0,c0)，Δ=b2

【详解】因为二次函数y=ax2+bx+c(a，

∴a

∵开口向上且值域为0,+∞，

∴Δ

∴b

∴a

∴(a

∴a

∴1=a+c?2a

∴ac≤14,即

∴ac的最大值为116(当且仅当a=

∵λ

∴λ

∵a+c=2

∴a

∴a

∴0a

∴λ?22a?

又∵a→0时，

∴λ

故答案为：116；

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

题型2构造函数法

一些双变量问题具