清华大学贾仲孝高等数值分析第二次作业.docxVIP

1.解：由于求解Ax=b等价于极小化||Ax-bl,,相当于极小化泛函：

从任一x出发，沿着φ(x)在x,点下降最快的方向有哪些信誉好的足球投注网站下一个近似点x,使得

φ(x)在该方向上达到极小值，最速下降方向为：

-Vφ(x)=-A?(Ax?-b)=Ar

令p=Ar,X=x+a?P,需要寻找合适的α,使得,则

,可得：

贝,因此上式的α即为所求

于是得到极小化泛函的最速下降法：

1)选取初值x?∈R”,计算r=b-Ax?

2)k=0,1,2,……若||≤ε,则停止；ε为事先给定的停机场数；否则，k=k+1

P=Ar;;

X+i=Xk+QkP;

Y+i=rk-akApk;

2.解：|x-x1|,=|k+arm-x1|,=|p(A)(xa-x),

其中p(A)=1-aA,设A的特征根为A≥λ≥…≥λ,0,则有

当0

时，,因此此方法收敛

当1-06,=-(1-02)即时，取最小,此时收敛最

快

3.解：设x*为方程组Ax=b精确解，e=x-x°,则,则原迭代

法等价于

令则迭代法收敛等价于p(B)1,即

λ(B)1,Ki≤,令|B-λI|=0,即

当λ≠0时，则有

设μ≥μ?≥…≥μ,0是A的特征根，则有

x2-(1+β+aμ?)λ+β=0

λ|1?|1+β+aμ|1+β2

则有：

p(B)1?|l+β+αμ|1+β2,1≤i≤n

4.

5.证明：反证法。假设Lanczos可以进行到第n步，并且生成了正交矩阵和对

称三对角矩阵T使得Q2AQ=T,其中T为：

β0,i=1,2,…n-1有特征根交错定理可知T的特征根均为单根，而T与A具有

相同的特征根，因此A的特征根都是单根，与题设矛盾，因此不成立

反之,若Lanczos过程中断，A不一定具有重特征根。例如：对A=diag(1,2,3),b=(100)′,x?=(000)执行Lanczos过程,则r=b+10)O?q=grp?=aA用，=d?,过程中断，但A无

特征重根