2024年中考数学相似三角形模型专题复习---旋转相似模型.docxVIP

相似三角形模型----旋转相似模型

一、模型介绍

(一)基本模型

已知:在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且DE∥BC,将△ADE绕点A旋转.

结论:△ABD∽△ACE.

(二)结论推导

结论:△ABD∽△ACE.

证明:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,

∴

∵∠BAD=∠CAE,∴△ABD∽△ACE.

(三)满分策略

如果图形中出现共顶点、顶角相等、有旋转时，可以考虑用旋转相似模型；如果图形中没有出现共顶点、顶角相等，也没有旋转时，可以通过作辅助线构造旋转相似.在旋转相似模型中，有一对三角形相似，可以推出另一对三角形相似，再结合已知条件求解.

二、典型例题

例1如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠AED=90°,若BD=2,则CE的长为.

考点分析：等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质.

思路点拨:由题意,△ABC∽△ADE,相似比为2,则

例2如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=32,点D为平面内一点，AD=1,连接DC,将线段DC绕点D顺时针旋转90°得到DE,

考点分析：等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理.

思路点拨:由题意,△BCE∽△ACD,则.∠BEC=∠ADC,∠EBC=∠DAC.分点D在.△ABC外部和内部两种情况进行讨论.设AD交BC于点F,导角可得∠AFC=90°,在Rt

例3如图,在△ABC和△ADE中,∠ABC=∠ADE=90°,∠BAC=∠DAE,将△ADE绕点A旋转,直线BD与CE相交于点F.

(1)求证:△ABD∽△ACE;

(2)连接AF，判断AF与CF的位置关系，并说明理由；

(3)若F为BD的中点,.AB=8,BC=11,AD=25,直接写出BD的长.

考点分析：相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理

思路点拨：(1)根据两角夹一边证明两个三角形相似；(2)过点C作CM⊥DF于点M，先证△ABC△△FMC,再证△AFC∽△BMC;(3)连接AF并延长至点G,使FG=AF,连接BG,CG,DG,延长CB交DG于点H,分别在Rt△BGH和Rt△CGH中对GH运用勾股定理,求出BH的长,从而求出BD

三、提分必练

(一)基础

1.如图,在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=90°,∠ABC=∠DEC=30°,若BE=6,则CD的长为BE=6,

2.如图,△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°,且ABBC=ADDE=34,连接BD,CE,并延长CE交BD

3.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且BE=CF=25BC=2,AE与BF交于点O,N为AD的中点,连接ON,作OM⊥ON交AB于点M,连接

(二)提升

1.如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,∠ADC=∠ACB=60°,BD=5,CD=3,则AD的长为.

2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,点P为△ABC内一点,PA=2,PC=3,PB=4

3.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=2AC,点D为△ABC外一点,∠BDC=∠ACB,若AD=22,CD=3

4.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D在边AC上,连接DB,将DB绕点D逆时针旋转120°得到DE,连接CE,点F在线段BD上.

(1)求证:△ABD∽△CBE;

(2)如图1,若AF∥CE,AF=5,CE=12,求ADDC

(3)如图2,若AF∥DE,若AF=3,CE=39

5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点M为AB的中点,点E为AC上一点,点D为BE

(1)求证:△

(2)用等式表示∠CDE与∠ADE

(3)若AD=13,BD=6,求tan