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利用基本不等式解高考选做题

利用基本不等式解高考选做题

引入：用基本不等式证明不等式

用基本不等式证明不等式，要分析不等式的左右结构特征，通过拆(添)项创设一个应用基本不等式的条件．

【例1】已知a，b，c都是实数．

求证：a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.

证明：∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac

三式相加得2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， ①

即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， ②

在①式两边同时加上(a2＋b2＋c2)得

3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，

即a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)(a＋b＋c)2. ③

在②式两边同时加上2(ab＋bc＋ca)得

(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)，

即eq\f(1,3)(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca. ④

∴由③④可得

a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.

方法点评：利用不等式a2＋b2≥2ab和a＋b≥2eq\r(ab)(a＞0，b＞0)时，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用．

变式训练1．已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥9.

证明：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,3)时取等号．

高考衔接

（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））（不等式选讲）

设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：

(1)ab＋bc＋ac≤eq\f(1,3)；

(2)eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥1.

【解题指南】(1)将两边平方，化简整理，借助不等式的性质，即得结论.

(2)证，也即证

可分别证然后相加即得.

证明(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

由题设得(a＋b＋c)2＝1，

即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.

所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).

(2)因为eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c，

故eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，

【命题立意】本题考查了不等式的性质，考查了均值不等式.

【思路点拨】把，分别用均值不等式，相加后，再用均值不等式.

【规范解答】证法一:

∵

…………①

，

∴……②

……③

∴原不等式成立.

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当时，③式等号成立.

即当a＝b＝c＝时原式等号成立.

证法二:∵a,b,c都是正数，由基本不等式得

∴………………①

同理………………②

∴

…………③

∴原不等式成立

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c,时，③式等号成立.

即当a＝b＝c＝时原式等号成立.

(2014年辽宁卷16题)16.对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为.

解法1填－2.(柯西不等式)

∵，∴，由柯西不等式得，

，

故当|2a＋b|最大时，有，∴，代入已知得，∴，当时，取得最小值为－2.

类似的，还可以这样构造式子：

，所以，剩下的步骤和解法1相同.

解法2填－2.（求解对照）

∵，∴，则，

当时，取到等号，即取到最大值，将代入中，解得，下面步骤与解法1步骤一样.

这种解法较为简单，容易理解，所以推荐这种解法.

解法3填－2.（判别式法）

设t＝2a＋b，则b＝t－2a，代入式子中，整理可得

要保证关于a的方程有解，则△＝，整理解t，，即，而只有△＝0时，等号成立，即使最大，此时，，即，

又，所以，

当时，上式取得最小值，解得，，所以当，，时，的最小值为－2.

解法4填－2.（换元法）