挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)专题15.3分式方程(学生版+解析).docxVIP

专题15.3分式方程

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1、了解分式方程的概念和检验根的意义；

2、会解可转化为一元一次方程的分式方程；掌握这种方程解法，掌握解方程中的化归思想；

3、会列出分式方程解简单的应用题。

知识精讲

知识精讲

知识点01分式方程及解分式方程

知识点

1.分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．

2．分式方程的解法

（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．

（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．

注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．

3．增根

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．

注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．

【知识拓展1】分式方程的定义

例1．（2023·山东省泰安八年级阶段练习）关于x的方程①；②；③；④．其中是分式方程是（????）

A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④

【即学即练】

1．（2023·湖南·八年级单元测试）已知方程：

①；????②????③；????④．

这四个方程中，分式方程的个数是（????）

A．4 B．3 C．2 D．1

【知识拓展2】解分式方程

例2．（2023·河北·石家庄三模）小明和小亮在解答“解分式方程：”的过程如框，对他们的解答过程（每一步只对上一步负责）有以下判断，判断错误的是（）

小明的解法：

解：去分母得：①

去括号得：②

移项得：③

合并同类项得：④

系数化为得：⑤

是原分式方程的解⑥

小亮的解法：

解：去分母得：①

去括号得：②

移项得：③

合并同类项得：④

系数化为得：⑤

A．小明的步骤①错误，漏乘 B．小明的步骤②、③、④都正确

C．小明的步骤⑤错误 D．小亮的解答完全正确

【即学即练】

2.（2023·河北·八年级阶段练习）解方程：

(1)(2)

【知识拓展3】分式方程的增根与无解问题

例3．（2023·浙江东阳·七年级期末）关于x的分式方程：．

（1）当m＝3时，求此时方程的根；（2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值．

【即学即练】

3（1）（2022·江苏九年级专题练习）关于x的分式方程(其中a为常数)有增根，则增根为_____．

（2）（2023·浙江杭州·初二月考）已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（）

A．﹣2或﹣3 B．0或3 C．﹣3或3 D．﹣3或0

【知识拓展4】分式方程的特殊解问题

例4．（2023·河南八年级期末）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组解满足，则满足条件的整数a有（）个．

A．7 B．6 C．5 D．4

【即学即练】

4.（1）（2023·安徽东至·七年级期末）已知关于的方程的解为正数，则的取值范围为____．

（2）（2022·江苏苏州·八年级期中）已知关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围______．

知识点02分式方程的应用

知识点

分式方程的应用

（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．

每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．

（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．

【知识拓展1】工程问题

例1．（2022·内蒙古凉城·期末）为了支援青海省玉树地区人民抗震救灾，四川省某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划用10天完成．（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷顶；（2）生产2天后，公司又从其他部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？

【即学即练1】

1．（2023·山东临沂市·中考真题）某工厂生产、两种型号的扫地机器人．型机器人比型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫所用的时间型机器人比型机器人多用40分钟．两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设型扫地机器人每小时清扫，根据题意