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利用空间向量解立体几何(完整版)(同名1087)

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向量法解立体几何

立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。

基本思路与方法

一、基本工具

1.数量积：

2.射影公式：向量在上的射影为

3.直线的法向量为，方向向量为

4.平面的法向量（略）

二、用向量法解空间位置关系

1.平行关系

线线平行两线的方向向量平行

线面平行线的方向向量与面的法向量垂直

面面平行两面的法向量平行

2.垂直关系

线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直

线面垂直线与面的法向量平行

面面垂直两面的法向量垂直

三、用向量法解空间距离

1.点点距离

点与的

距离为

2.点线距离

求点到直线的距离：

方法：在直线上取一点，

则向量在法向量上的射影=即为点到的距离.

3.点面距离

求点到平面的距离：

方法：在平面上去一点，得向量，

计算平面的法向量，

计算在上的射影，即为点到面的距离.

四、用向量法解空间角

1.线线夹角（共面与异面）

线线夹角两线的方向向量的夹角或夹角的补角

2.线面夹角

求线面夹角的步骤：

先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；

②再求其余角，即是线面的夹角.

3.面面夹角（二面角）

若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；

离

d=AB·cos∠BAA＇=

略证：如图，EF为a、b的公垂线段，a＇为过F与a平行的直线，

在a、b上任取一点A、B，过A作AA＇EF，交a＇于A＇，

则，所以∠BAA＇=（或其补角）

∴异面直线a、b的距离d=AB·cos∠BAA＇=*

其中，的坐标可利用a、b上的任一向量（或图中的），及的定义得

=1\*GB3①解方程组可得。

2、求点到面的距离

求A点到平面α的距离，设平面α的法向量法为，在α内任取一点B，则A点到平面α的距离为d=，的坐标由与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述,若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设，下同）。

3、求直线到与直线平行的平面的距离

求直线a到平面α的距离，设平面α的法向量法为，在直线a上任取一点A，在平面α内任取一点B，则直线a到平面α的距离d=

4、求两平行平面的距离

设两个平行设平面α、β的公共法向量法为，在平面α、β内各任取一点A、B，则平面α到平面β的距离d=

三、证明线面、面面的平行、垂直关系

设平面外的直线a和平面α、β，两个面α、β的法向量为，则

四、应用举例：

例1：如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1.

(1)求二面角C—DE—C1的正切值;

(2)求直线EC1与FD1所成的余弦值.

解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，

则D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)

于是，

设法向量与平面C1DE垂直，则有

（II）设EC1与FD1所成角为β，则

例2：如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=600，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点。

（1）证明平面PED⊥平面PAB；

（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值

证明：（1）∵面ABCD是菱形，∠DAB=600，

∴△ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结BD

∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900，

如图建立坐标系D-ECP，设AD=AB=1，则PF=FD=，ED=，

∴P（0，0，1），E（，0，0），B（，，0）

∴=（，，-1），=（，0，-1），

平面PED的一个法向量为=（0，1，0），设平面PAB的法向量为=（x,y,1)

由∴=（,0,1)

∵·=0即⊥∴平面PED⊥平面PAB

（2）解：由（1）知：平面PAB的法向量为=（,0,1),设平面FAB的法向量为1=（x,y,-1)，

由（1）知：F（0，0，），=（，，-），=（，0，-），

由

∴1=（-,0,-1)

∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值