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利用导数证明不等式的两种通法

利用导数证明不等式的两种通法

利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。

一、函数类不等式证明

函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式（）的问题转化为证明（），进而构造辅助函数，然后利用导数证明函数的单调性或证明函数的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。

例1已知，求证：

分析：欲证，只需证函数和在上单调递减即可。

证明：

令，其中

则，而

所以在上单调递减，即

所以；

令，其中

则，所以在上单调递减，

即

所以。

综上所述，

评注：证明函数类不等式时，构造辅助函数比较容易，只需将不等式的其中一边变为0，然后另一边的函数作为辅助函数，并利用导数证明其单调性或其最值，进而构造我们所需的不等式的结构即可。根据不等式的对称性，本例也可以构造辅助函数为在上是单调递增的函数（如：利用在上是单调递增来证明不等式），另外不等式证明时，区间端点值也可以不是我们所需要的最恰当的值（比如此例中的也可以不是0，而是便于放大的正数也可以）。因此例可变式为证明如下不等式问题：

已知，求证：

常数类不等式证明的通法可概括为：证明常数类不等式的问题等价转化为证明不等式

的问题，在根据的不等式关系和函数的单调性证明不等式。

例3已知

求证：

分析：

证明：

令

则

所以，

又因为，所以

即

即

评注：利用导数证明常数类不等式的关键是经过适当的变形，将不等式证明的问题转化为函数单调性证明问题，其中关键是构造辅助函数，如何构造辅助函数也是这种通法运用的难点和关键所在。通过本例，不难发现，构造辅助函数关键在于不等式转化为左右两边是相同结构的式子（本例经过转化后的不等式的两边都是相同式子的结构，所以可以构造辅助函数），这样根据“相同结构”可以构造辅助函数。

例4已知，求证：

分析：欲证，只需证（不然没法构造辅助函数），即，则需证函数都在函数区间上单调递增即可。

证明：设，

则

由例1知，

即，所以在上单调递增，而

所以，即，进而得到

设，

则，又因为，所以，

进而在上单调递增，而

所以，即，进而得到

综上所述

三、同步练习题

1．当时,求证:

2．已知a,b为实数，并且eab，其中e是自然对数的底，证明：

3．已知函数

（1）求函数的最小值；

（2）若，求证：

4．求证：

参考答案：

1．证明：

要证，只要证,

即证

则当时，,

上递增，即成立，原不等式得证

2．证明：

当eab时，要证，只要证,

即只要证

考虑函数。因为当时，

所以函数内是减函数

因为eab，所以，即得

3．（1）最小值为0

（2）因为，

而由（1）知，对，恒有，所以不等式恒成立

即

所以

又因为

所以

证明：设，

则

所以函数在其定义域单调递减

所以，即

根据对数的运算性质得，