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利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题

基本题引入:如图（1），要在公路道a上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？

你可以在a上找几个点试一试,能发现什么规律?

a

a

·A

·B

图1

·A

·B

a

·A′

M

图2

·A

·B

a

·A′

M

N

图3

思路分析：如图2，我们可以把公路a近似看成一条直线，问题就是要在a上找一点M，使AM与BM的和最小。设A′是A的对称点，本问题也就是要使A′M与BM的和最小。在连接A′B的线中，线段A′B最短。因此，线段A′B与直线a的交点C的位置即为所求。

如图3，为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N，连接AN、BN、A′N。

因为直线a是A，A′的对称轴，点M,N在a上，所以AM=A′M,AN=A′N。

∴AM+BM=A′M+BM=A′B

在△A′BN中，

∵A′B＜A′N+BN

∴AM+BM＜AN+BN

即AM+BM最小。

点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。思路如下：②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由题意可知，点C关于直线DE的对称点是点A，显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB＋PA＝AB.由∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC.EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝.∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.∴DE＝DF＋FE＝8＋＝.∴当x＝时，△PBC的周长最小，y值略。

数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，合理组织

第2题图

第2题图

二、三角形中的对称

题目2如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边上的中点,E是AB边上的一动点,则EC+ED的最小值是 __

点评：本题只要把点C、D看成基本题中的Ａ、Ｂ两镇，把线段AB看成燃气管道a，问题就可以迎刃而解了，本题只是改变了题目背景，所考察的知识点并没有改变。

三、四边形中的对称

题目3如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2,N是AC上的动点，则DN+MN的最小值为多少？

点评：此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质，点D关于直线AC的对称点正好是点B，最小值为MB＝10。

MADB

M

A

D

B

C

N

第3题图

第4题图

四、圆中的对称

题目4已知：如图，已知点A是⊙O上的一个六等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若⊙O的半径长为1，求AP+BP的最小值。

EFGB′AC·BH点评：这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。点B的对称点B′在圆上，AB′交ON于点p′,由∠AON﹦60°,∠B′ON﹦30°，∠AOB′﹦90°

E

F

G

B′

A

C

·B

H

h

h

A

B

第5题图1

第

第5题图2

五、立体图形中的对称

题目5如图1是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的A处，它想吃到盒内表面对侧中点B处的食物，已知盒高h＝10cm，底面圆的周长为32cm，A距离下底面3cm．请你帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，它爬行的最短路程为cm．

点评：如图2，此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决，将圆柱的侧面展开得矩形EFGH,作出点B关于EH的对称点B′,作AC⊥GH于点C,连接AB′。在Rt△AB′C中，AC﹦16,B′C﹦12,求得AB′﹦20，则蚂蚁爬行的最短路程为20cm。

通过变式训练既解决了一类问题，又归纳出了最本质的东西，以后学生再碰到类似问题时学生就不会不知所措。同时变式训练培养了学生思维的积极性和深刻性，发展了学生的应变能力。

综上所述，引导学生在熟练掌握书本例题、习题的基础上，进行科学的变式训练，对巩固基础、提高能力有着至关重要的作用。更重要的是，变式训练能培养和发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维，进而培养学生全方位、多角度思考问题的能力，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。

题目6长方体问题如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？

析：展开图如图所示，

路线1即为所求。

长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边，斜边长即为最短路线长。

由学生引申总结以下1——4：

已知：如图，A、B两点在直线的同侧，点与A关于直线对称，连结交于P点，若=a，（1）求AP+PB；（2）若点M是直线