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利用导数求函数的极值习题

利用导数求函数的极值

例求下列函数的极值：

1．；2．；3．

分析：按照求极值的基本方法，首先从方程求出在函数定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．

解：1．函数定义域为R．

令，得．

当或时，，

∴函数在和上是增函数；

当时，，

∴函数在（－2，2）上是减函数．

∴当时，函数有极大值，

当时，函数有极小值

2．函数定义域为R．

令，得或．

当或时，，

∴函数在和上是减函数；

当时，，

∴函数在（0，2）上是增函数．

∴当时，函数取得极小值，

当时，函数取得极大值．

3．函数的定义域为R．

令，得．

当或时，，

∴函数在和上是减函数；

当时，，

∴函数在（－1，1）上是增函数．

∴当时，函数取得极小值，

当时，函数取得极大值

说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意只是函数在处有极值的必要条件，如果再加之附近导数的符号相反，才能断定函数在处取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．

复杂函数的极值

当或时，，

∴函数在和上是减函数；

当或时，，

∴函数在和上是增函数．

∴当和时，函数有极小值0，

当时，函数有极大值．

说明：在确定极值时，只讨论满足的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的．在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值．本题1中处，2中及处函数都不可导，但在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数在这些点处仍取得极值．从定义分析，极值与可导无关．

根据函数的极值确定参数的值

例已知在时取得极值，且．

1．试求常数a、b、c的值；

2．试判断是函数的极小值还是极大值，并说明理由．

分析：考察函数是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为的根建立起由极值点所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数a、b、c的值．

解：1．解法一：．

是函数的极值点，

∴是方程，即的两根，

由根与系数的关系，得

又，∴，（3）

由（1）、（2）、（3）解得．

解法二：由得

，（1）

（2）

又，∴，（3）

解（1）、（2）、（3）得．

2．，∴

当或时，，当时，

∴函数在和上是增函数，在（－1，1）上是减函数．

∴当时，函数取得极大值，

当时，函数取得极小值．

说明：解题的成功要靠正确思路的选择．本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向．可见出路在于“思想认识”．在求导之后，不会应用的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍．

高三第三章导数--函数的极值练习题

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1.下列说法正确的是

A.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极大值

B.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极小值

C.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极值

D.当f(x0)为函数f(x)的极值且f′(x0)存在时，则有f′(x0)=0

2.下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是

①y=x3②y=x2+1③y=|x|④y=2x

A.①② B.②③C.③④ D.①③

3.函数y=的极大值为

A.3 B.4C.2

4.函数y=x3－3x的极大值为m,极小值为n,则m+n为

A.0 B.1C.2

5.y=ln2x+2lnx+2的极小值为

A.e－1 B.0C.－1

6.y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于

A.6 B.0C.5

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

7.函数f(x)=x3－3x2+7的极大值为___________.

8.曲线y=3x5－5x3共有___________个极值.

9.函数y=－x3+48x－3的极大值为___________；极小值为___________.

10.函数f(x)=x－的极大值是___________，极小值是___________.

11.若函数y=x3+ax2+bx+27在x=－1时有极大值，在x=3时有极小值，则a=___________,b=___________.

三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=－1时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值.求这个极小值及a、b、c的值.

13.函数f(x)=x++b