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数学导数及其应用多选题(讲义及答案)及答案

一、导数及其应用多选题

1．对于函数，其中，下列个命题中正确命题有（）

A．该函数定有个极值 B．该函数的极小值一定不大于

C．该函数一定存在零点 D．存在实数，使得该函数有个零点

【答案】BD

【分析】

求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数．

【详解】

函数定义域是，

由已知，

，有两个不等实根，但，一正一负．

由于定义域是，因此只有一个实根，只有一个极值，A错；

不妨设，则时，，递减，时，，递增．所以是函数的极小值．，，

＝，

设，则，

时，，递增，时，，递减，

所以极大值＝，即，所以，B正确；

由上可知当的极小值为正时，无零点．C错；

的极小值也是最小值为，

例如当时，，，时，，又（，

所以在和上各有一个零点，D正确．

故选：BD．

【点睛】

思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．

2．对于函数，下列说法正确的有（）

A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点

C． D．若在上有解，则

【答案】ACD

【分析】

利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A；利用函数的单调性和函数值的范围判断B；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C；利用不等式有解问题的应用判断D．

【详解】

函数，所以，

令，即，解得，

当时，，故在上为单调递增函数．

当时，，故在上为单调递减函数．

所以在时取得极大值，故正确；

当时，，在上为单调递增函数，

因为，所以函数在上有唯一零点，

当时，恒成立，即函数在上没有零点，

综上，有唯一零点，故错误．

由于当时，，在上为单调递减函数，

因为，所以，故正确；

由于在上有解，故有解，

所以，设，则，

令，解得，

当时，，故在上为单调递减函数．

当时，，故在上为单调递增函数．

所以．

故，故正确．

故选：ACD．

【点睛】

方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.

3．已知：是奇函数，当时，，，则（）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】

由已知构造得，令，判断出函数在时单调递增，由此得，化简可判断A；，化简并利用是奇函数，可判断B；

，化简可判断C；由C选项的分析得，可判断D.

【详解】

因为当时，，所以，即，所以，

令，则当时，，函数单调递增，

所以，即，化简得，故A正确；

，即，化简得，

所以，又是奇函数，所以，故B不正确；

，即，又，化简得，故C正确；

由C选项的分析得，所以，又是奇函数，所以，故D正确,

故选：ACD.

【点睛】

关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.

4．设函数，则（）

A． B．的最大值为

C．在单调递增 D．在单调递减

【答案】AD

【分析】

先证明为周期函数，周期为，从而A正确，再利用辅助角公式可判断B的正误，结合导数的符号可判断CD的正误．

【详解】

的定义域为，且，

，故A正确．

又，令，

则，

其中，

故即，故，

当时，有，此时即，

故，故B错误．

，

当时，，故在为减函数，故D正确．

当时，，故，

因为为增函数且，而在为增函数，

所以在上为增函数，

故在有唯一解，

故当时，即，故在为减函数，故C不正确．

故选：AD

【点睛】

方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．

5．设函数，，给定下列命题，其中正确的是（）

A．若方程有两个不同的实数根，则；

B．若方程恰好只有一个实数根，则；

C．若，总有恒成立，则；

D．若函数有两个极值点，则实数．

【答案】ACD

【分析】

利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为与有两个不同的交点，即可判断A选项；易知不是该方程的根，当时，将条件等价于和只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B选项；当时，将条件等价于恒成立，即函数在上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出的范围，即可判断C选项；有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D选项.

【详解】

解：对于A，的定义域，，

令，有