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《几何原本》

《几何原本》﹝Elements﹞由希腊数学家欧几里得﹝Euclid，公元前300年前后﹞所着，是用公理方法建立演绎数

学体系的最早典范。是至今流传最广、影响最大的一部世界数学名著。

《几何原本》共13卷。每卷﹝或几卷一起﹞都以定义开头。第I卷首先给23个定义，如「点是没有部分的」，

「线只有长度没有宽度」等，还有平面、

直角、锐角、钝角、并行线等定义。之后是5个公设。欧几里得先假定下列作图是可能的：(1)从某一点向另一点画直线；(2)将一有限直线连续延长；(3)以任意中心和半径作圆。即他假定了点、直线和圆的存在性作为其几何学的基本元素，如此他就可以证明其它图形的存在性。第4个公设假定所有的直角都相等。第5公设即所谓平行公设：「若一直线与两直线相交，使同旁内角小于两直角，则两直线若延长，一定在小于两直角的两内角的一侧相交。」﹝自此以后，有许多学者认为这一公设可以证明，并试图寻求证明，未能成功。直到19世纪，高斯、罗巴切夫斯基和波尔约分别独立地由此发展出非欧几何学。﹞公设之后有5个公理，它们一起构成了整部著作的基础。当时认为公理是对所有学科都适用的。如第1个公理「与同一事物相等的事物，彼此相等」。由这些基本定义、公设、公理出发，欧几里得运用严格的逻辑工具在第I卷中共推出48个命题，这也是整部著作的特点。

《几何原本》前6卷是平面几何内容。第I卷内容有关点、直线、三角形、正方形和平行四边形。第I卷命题47是著名的毕达哥拉斯定理：「直角三角形斜边上的正方形等于直边上的两个正方形之和。」

第II卷在定义了磬折形之后，给出了14个命题，是第I卷命题44、45有关面积变换问题的继续。若将几何变换翻译成代数语言，即从所谓几何代数的观点来看，命题4「将一线段任意分为两部份，则在整个线段上的正方形等于在部份线段上的两个正方形加上以这两部份线段为边的矩形的二倍」相当于等式(a+

b)2=a2+2ab+b2。命题5、6、11、14就相当于解二次方程ax-x2=b2、ax+x2=b2、x2+ax=a2、x2=ab。第12、13命题相当于余弦定理的证明。

第III卷的37个命题，论述圆、圆的相交与相切、弦、圆周角等。

第IV卷16个命题，全是有关圆的问题，尤其圆的内接与外切直线图形，包括圆内接正多边形的作图。如命题16要求作圆内接正15边形。

第V卷发展了一般比例论，赢得后世数学家的高度赞扬。毕达哥拉斯学派的比例论只适用于可公度量，而这里的一般比例论则适用于一切可公度与不可公度量。该卷的核心即含于开篇的定义中，定义4表明：「两量之间有一个比，若其中之一倍乘时能超过另一量。」此定义排斥了无穷大与无穷小，与今天的所谓阿基米德公理类同。定义5给出了比例的定义，被认为是古希腊数学中几个最具创造的成果之一。余下的定义有关多种比的变换─交比、反比、合比、分比等。在之后给出的25个命题中应用了以上各种运算。

第VI卷中应用前一卷建立的一般比例论于相似图形，给出了33个命题。第VII、VIII、IX三卷是算术内容，主要讲数论，各有39、27、36个命题。

其中第V卷中发展的一般比例论被用于数。第VII卷命题1给出了欧几里得算法。第22-32命题是关于素数的。第VIII卷主要处理成连比例的数列问题。第IX卷命题20相当于证明了「素数个数无穷多」这一结论。

第X卷包含115个命题，试图将无理线段进行分类，主要详尽讨论了可以表

示成的线段的各种可能的形式。

最后三卷致力于立体几何。第XI卷大量命题有关平行六面体。第XII卷主要是应用穷竭法证明了图形的面积和体积之比的一些命题。第XIII卷研究了五种正多面体。

《几何原本》一书从很少的几个定义、公设、公理出发，推导出大量结果，最重要的是它给出的公理体系标志着演绎数学的成熟，主导了其后数学发展的主要方向，使公理化成为现代数学的根本特征之一。

到19世纪末，《几何原本》的印刷版本达一千种以上。如今世界各国主要文种都有《几何原本》的译本。最早的英译本1570年由比林斯利﹝HenryBillimgsley﹞译成出版。中国最早的中文译本是1607年由利玛窦﹝MatteoRicci﹞和徐光启合译的。他们只译出前6卷。250年后，1857年伟烈亚力

﹝AlexanderWylie﹞和李善兰合译出后9卷﹝据15卷版本﹞。1990年，陕西科技出版社出版了根据希思﹝ThomasHeath﹞的标准英文版本《欧几里得几何原本13卷》﹝The