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用“勾股定理”证明“勾股定理的逆定理 ”——反证法

湛江市爱周中学 伍彩梅

八年级数学学习的勾股定理，是几何学中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，内容是：“如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边

长为c，那么a2

b2

?c2”。

勾股定理的逆定理给出了一个用代数运算判定一个三角形是直角三角形的方法，内容

是：“如果三角形的三边长a、b、c满足a2

b2

?c2，那么这个三角形是直角三角形”。

这两大定理都来源于实践，并在实践中得到广泛的应用。

定理的证明，有助于加深对定理得理解，有助于实现从感性认识到理性认识的飞跃。教材中，勾股定理的证明采用了多种方法，学生容易理解。而

课本里用三角形全等证明了该定理。勾股定理的逆定理，只用“三角形全等”来证明，这种方法学生一时不易理解。实际上，我们也可以用“勾股定理”来证明“勾股定理的逆定理”——反证法。表述如下：

已知△ABC的三边长a、b、c满足a2

b2

?c2，求证：△ABC是直角三角形。

用反证法证明如下：

由a2

b2

?c2，可知c边最大，即∠ACB最大。只要证明了∠ACB=90°，即△ABC

是直角三角形。

分两种情况进行。

（一）假设△ABC不是直角三角形而是钝角三角形，则∠C＞90°。如图（1）

ca

c

a

A

b

C

图（1）

图（1）

过 B 作 BD 垂直于 AC 的延长线于 D，垂足为 D。如图（2）

B

c

a a1

1A b C b D

1

图（2） 图（2）

在图（2）中，△ABD与△CBD都是直角三角形，根据勾股定理有：

a2?(b?b

1 1

)2?c2 （1）

把（2）代入（3）得 a2

1

a21?

a2

1

?b2?a2

1

（2）

由（1）得

a2

1

b

1

2

?2bb?b2?c2

（3）

2bb

1

?c2

（4）

对比已知条件 a2

b2

?c2

可得 b ?0

1

把b ?0代入（2）得a2

1 1

?a2，则a ?a

1

因此点C与点D重合，∠ACB=∠ADB=90°，结论与假设矛盾，所以△ABC是直角三角形。

（二）假设△ABC不是直角三角形而是锐角三角形，则∠C＜90°。如图(3)

Bc

B

c

a

C

b

图（3）

过B作BD垂直于AC于D，垂足为D。如图（4）

Bc

B

c

a

a

1

b

1

b C

b D 2

图（4）

其中BD=a

1

，AD=b

1

，DC=b，b?b ?b

2 1 2

在图（4）中，△ABD与△CBD都是直角三角形，根据勾股定理有：

a2?b2

1 1

a2?b2

1 2

?c2 （5）

?a2 （6）

把（5）-（6）得

c2?a2?b2

1

b2

2

?(b

1

b)(b

2 1

?b)?b(b?2b

2 2

)?b2?2bb

2

整理得

c2?a2?b2?2bb （7）

2

对比已知条件 a2

b2

?c2

得 b ?0

2

所以 b ?b

1

则点C与点D重合，∠ACB=∠ADB=90°，结论与假设矛盾，所以△ABC是直角三角形。

因此，勾股定理的逆定理得到证明。

2007-3-12