读书摘录什么是数的认识.docxVIP

数是对数量的抽象，因此在认识数之前，首先要认识数量。但是，无论是认识数量还是认识数都不是数学的本质，数学的本质是：在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。数量之间最基本的关系是多与少，与此对应，数之间最基本的关系是大与小。从零开始，依据数之间的大小关系就产生了自然数，表示自然数的关键在十于个符号和数位。

问题1 数量是什么？数量关系的本质是什么？

数量是对现实生活中事物量的抽象。从远古时代开始，在日常生活和生产实践中，人们就需要创造出一些语言来表达事物（事件与物体）量的多少，比如，狩猎收获的多少，祭祀牺牲的多少等等。在古代中国，这样的表述可以追溯到商代的甲骨文，参见附录的话1。题虽然在这样的表达中出现了数字，但这些数字都是有具体背景的：在这样的表达中，数字后面都有后缀名词。在现代汉语中，一些表示数量的后缀名词的具体形式已经被根深蒂固地保留下来了，比如，一粒米、两条鱼、三只鸡、四个蛋、五匹马、六头牛、七张纸、八顶帽子、九件衣服、十条裤子等等。我们称这种有实际背景的、关于量的多少的表达为数。量

史宁中.2013.基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M].高等教育出版社第10页

问题2 如何认识自然数？

数是对数量的抽象，数的关系是对数量关系的抽。象在问题1中已经谈到，为了更好地研究现实世界中量的关系，就必须对数量进行更一般的抽象。抽象的结果就是自然数。在这个抽象过程中，人们把数量关系也一并抽象出来，形成数的关系数。量关系的本质是多与少，与此对应，数的关系的本质是大与小。因此，自然数是对数量、以及数量关系的抽象。可以有两种方法实现这种抽象，或者说，可以有两种方法认识自然数。

一种方法是基于对应的。基于对应的抽象过程大概是这样的：首先利用图形对应表示事物数量的多少，然后再对图形的多少进行命名，最后把命名了的东西符号化。比如，

□□←→2，

□□□←→3，

??

（1）

史宁中.2013.基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M].高等教育出版社第11页

一种方法是基于定义的。数的定义紧紧地依赖于数的关系、即大小关系。通过大小关系定义自然数的方法在本质上是利用了“后继”的概念。比如，先1有；称1的后继为2，2比1大1，表示为2=1+1；称2的后继为3，3比2大1，表示为3=2+1；??，通过这样的后继关系，人们就得到了自然数。最初规定自然数是从1开始的，后来为了更一般的表示，又规定自然数从0开始。关于定义自然数的详细讨论参见附录的话6题。

可以看到，通过定义认识自然数的方法完全排除了现实背景，这样的方法过于抽象，不适

于小学阶段的数学教学。但是，作为数学教师应当知道这样的方法，并且要理解其中的逻辑关系，因为数学的严谨性是从数的定义开始的。

在教学过程中还应当注意到，读数和用符号表示数是有所不同的用，符号表示数比读数更加抽象。在读数的过程中，人们只需要用一个词与数量的多少对应起来就可以了，比如，用“十”对应于“十个”那么多、用“百”对应“百个”那么多。但是，这样的方法对于符号表示是不可能的，因为不可能创造出无穷多个符号来表示数。

史宁中.2013.基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M].高等教育出版社第12页

问题3 表示自然数的关键是什么？

表示自然数的关键是十个符号和数位。十个符号是与十进制联系起来的，因为在使用二进制时只需要两个符号。人们在日常生活中之所以采用十进制，大概与人有十个手指头有关，正如前面问题所讨论的那样，人们在规定“数”的时候考虑到了对应，而十进制就是对应于人的

十个手指头。在现实生活中，与数量有关的规定还有十二进制和六十进制，这些规定大多与时间有关、与古代历法有关，参见附录的话题5。

自然数有无穷多个，可是，为什么用十个符号就能够表示所有的自然数呢？关键在于数位：在个位上的2与在十位上的2所表示的自然数是不同的，在表示过程中0起到了重要的作用，参见附录的话题4。从小到大，十进位的数位法则是依次相差十倍。即十个“个”是“十”、十个“十”是“百”、十个“百”是“千”，十个“千”是“万”等等。在现行小学教科书中，解释如何认识一万时说：一万是由十个一千产生的。这样的解释是不合适的，事实

上，是“万”这个数位是十个“千”，而不是说一万这个数是十个“千”，数与数位是不同的1。在问题2中已经讨论过，数是一个一个大起来的，据此可以这样认识一万这个数：已经知道用千位表示的最大数是9999，现在又多了1，那么，应当如何称呼这个新的数是什么呢？在中国称这个数为“一万”，在西方称这个数为“十千”，但符号表示是一样1的0