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2017年重庆理工大学高等代数考研真题A卷

一、填空题(每空3分,共15分)1.已知行列式

2?512?37

2

?5

1

2

?3

7

?1

4

3

2

?1

7

4

?6

1

2

则5A

31

9M

32

2A

33

7M

34

= ,其中M ,A

ij ij

分别表示元素a

ij

的余子式和

代数余子式.

?2 ?+3 1??x

? ??2?

?1 ? 1?? 1?=??? ?

=

=

已知线性方程组? ??x? ? ?无解,则 .

? ?? 2? ? ?

3?1 1 ???x

3

? ??2?

已知三阶方阵A的行列式A=9,A?为A的伴随矩阵,则A??6A?1????_.

若n阶方阵A满足|A?I|?0,且A2?3A?2I?O,这里I为n阶单位矩阵,则A

的特征值只能是 .

?1 0 0?

若实对称矩阵A与

? ?

?B=?0 ?2 0

?

合同,则二次型XTAX的典范形式

? ??0 0 3

? ?

为 .

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.在每小题给的四个选项中只有一项符合题目要求,把所选项前面的字母填在题后括号内)

数域F上的多项式f(x)没有重因式的充分必要条件是( ).

f(x)没有重根

f(x)的导数f?(x)没有重因式

f(x)与f?(x)互素

f(x)在F中没有根

2.设A为4?5矩阵,且秩A=4,则( ).

A的列向量组线性无关

方程组Ax?b的增广矩阵A的行向量组线性无关

方程组Ax?b有唯一解

方程组Ax?b的增广矩阵A的任意四个列向量构成的向量组线性无关

3.设n阶可逆矩阵A满足A2=|A|I,则A的伴随矩阵A?满足( ).(A) A?=A (B)A?=|A|?1A

(C) A?=|A|A (D)A?A=|A|n?1I

4.已知?=?

1 2

=6,?

3

?3是实对称矩阵A的三个特征值,且对应于?=?

1 2

=6的特征

向量为?

1

=(?1,0,1)T,?

2

?(1,?2,1)T.则A对应于?

3

?3的特征向量为( ).

(A)(?1,1,0)T (B)(1,?1,1)T

(C)(0,1,1)T (D)(1,1,1)T

5.实二次型q(x,x

1 2

,L,x

n

)?XTAX为正定的充分必要条件为( ).

(A)|A|0

存在X=(x,x

1 2

,L,x)T

n

??使得XTAX?0

存在n阶可逆矩阵C使得A?CTC

A的负惯性指数为零

三、(15分)

设多项式f(x)?2x4?x3?ax?2b?C[x],g(x)?x2+2x?a?C[x],且g(x)整除

f(x).

求a,b的值；(6分)

判断f(x)有无重因式；(4分)

将f(x)表示成x+1的多项式.(5分)

B

四、(12分)(1)证明

A

?A?BA?B,其中A,B为同阶方阵；(4分)

(2)计算2n阶行列式D

?A In

,其中I

为n阶单位阵,A是如下n阶方阵

2n I A n

n

?a 1 1 L 1?

1??? a 1 L 1?

1

?

?

A??1 1 a L 1?.(8分)

?M M M O M?

? ?

?1 1 1 L a?

? ?

?1 1 2? ??1 ?

? ? ? ?

五、(18分)设A?=?0 1 1?，这里A?为A的伴随矩阵,P?? 1 ?, 且矩阵B满

?2 ?2 1?

? 2?

? ? ? ?

足BA?AP.

(1)证明A可逆,并求A及其逆；(8分)

(2)求矩阵多项式f(B)?B3?2B2?B.(10分)

六、(15分)问?为何值时,线性方程组

?(??2)x?2x

2x

??1,

?1??2x?(??

?

1

2

x

3

34x

3

??2,

??2x

?

1

1

4x

2

?(?

2

?5)x

3

???1,