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复习资料
数学与应用数学专业《抽象代数》（本科）
一、选择题(每小题3分,共18分)
1、A2、D3、D4、D5、D6、A
三、填空（每小题3分,共15分）
1、2、-43、4、5、
四、（8分）证明：首先，新运算是的代数运算；………1分
其次，结合律成立，有
……3分
再次，设原来运算作用下中的逆元为，为单位元，则
，
是新运算作用下中的单位元…………5分
最后，，有
是新运算作用下的逆元…………7分
故对新运算也作成一个群……………8分
五、（12分）解：
…………………4分
同理：……8分
同理：…………………12分
六、（12分）证明：首先证是单射
且，假设则，由函数的单调性知：，
………………3分
其次证是满射
有…………………8分
最后证保持运算
……11分
综上所述：是和之间的同构映射，即…12分
七、（8分）证明：的单位元，非空且是子集……………2分
则
，
同理：……………………5分
则
，
同理：………7分
………………8分
八、（12分）证明：设是加群的全体自同态映射组成的集合，
首先，因为恒等变换，所以非空。
其次，对加法作成交换加群.
，，，
∴加法是的代数运算.
对于零变换，，有，
∴零变换是中零元，
设，则也是的自同态映射，且，，
又，∴对加法作成交换加群。…4分
·······································线···································订··································装··········································
再次，对乘法满足交换律，，，有
再次，中乘法对加法满足左右分配律
，，
，
同理有.………8分
最后恒等变换是的单位元，，，有
，,
.
故加群的全体自同态映射对加法、乘法作成一个有单位元的环.……12分
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