2023年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）试卷 全国甲卷（含解析）.docVIP

2023年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）试卷全国甲卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。总之，在最后的复习阶段，学生们不要加大练习量。在这个时候，学生要尽快找到适合自己的答题方式，最重要的是以平常心去面对考试。

一、选择题

1．设全集，集合，，则()

A. B.

C. D.

2．设，，则()

A.-1 B.0 C.1 D.2

3．执行下边的程序框图，则输出的()

A.21 B.34 C.55 D.89

4．已知向量a，b，c满足，，且，则()

A. B. C. D.

5．设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（）

A. B. C.15 D.40

6．某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为()

A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4

7．设甲：，乙：，则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8．已知双曲线（，）的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则()

A. B. C. D.

9．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有()

A.120种 B.60种 C.30种 D.20种

10．函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为()

A.1 B.2 C.3 D.4

11．已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则面积为()

A. B. C. D.

12．设O为坐标原点，，为椭圆C：的两个焦点，点P在C上，，则()

A. B. C. D.

二、填空题

13．若为偶函数，则_________.

14．若x，y满足约束条件则的最大值为__________.

15．在正方体中，E，F分别为AB，的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有_________个公共点.

16．在中，，，，的角平分线交BC于D，则___________.

三、解答题

17．记为数列的前n项和，已知，.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

18．如图，在三棱柱中，平面，，，到平面的距离为1.

(1)证明：；

(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值.

19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).

(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望.

(2)试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表：

对照组

试验组

(ii)根据(i)中的列联表，能否有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异?

附：，

0.100

0.050

0.010

k

2.706

3.841

6.635

20．已知直线与抛物线交于A，B两点，.

(1)求p；

(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且，求面积的最小值.

21．已知函数，.

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若，求a的取值范围.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]

已知点，直线(t为参数)，为l的倾斜角，l与x轴正半轴、y轴正半