多元线性回归模型及其假设条件.docx

，§5.1多元线性回归模型及其假设条件

，

多元线性回归模型

多元线性回归模型：y?b?bx ?bx

i 0 1 1i 2 2i

多元线性回归模型的方程组形式

多元线性回归模型的矩阵形式

回归模型必须满足如下的假设条件：

???b x ??

p pi i

i?1,2,? ,n

第一、有正确的期望函数。即在线性回归模型中没有遗漏任何重要的解释变量，也没有包含任何多余的解释变量。

第二、被解释变量等于期望函数与随机干扰项之和。

第三、随机干扰项独立于期望函数。即回归模型中的所有解释变量X

相关。

与随机干扰项u不

j

第四、解释变量矩阵X是非随机矩阵，且其秩为列满秩的，即：rank(X)?k,k?n。式中k是解释变量的个数，n为观测次数。

第五、随机干扰项服从正态分布。

?第六、随机干扰项的期望值为零。E?u??0

?

第七、随机干扰项具有方差齐性。?2?u

i

??2?（常数?） ? ?

第八、随机干扰项相互独立，即无序列相关。?

u,u

?covu,u =0

i j i j

§5.2多元回归模型参数的估计

建立回归模型的基本任务是：求出参数?,b,b,?,b

的估计值，并进行统计检验。

0 1 ?p ?

残差：e?y?y?；残差平方和：Q=?n

i i i

i?1

e2??

i

y?y? 2

i i

?b?? ?y ?

?1 x

x ? x ?

??0? ?

y1?

?1 x11

x21 ?

xp1?

?b? ? ? ? ?

矩阵求解：X=?

12 22

p2?，B??

?b?1?，Y???2

?，B??

X?X

?1X?Y

? ? ?

? ? ? ? ?

? x x

x ? ??2?

?y ?

??1

? ?? ??? ?

yn?1?

1n 2n

pn ?b?

?? ??

??2? Q

n?p?1

? p? n

要通过四个检验：经济意义检验、统计检验、计量经济学检验、模型预测检验。

§5.4多元线性回归模型的检验

一、R2检验

R2检验定义

R2检验又称复相关系数检验法。是通过复相关系数检验一组自变量x,x,?,x

1 2 m

与因变量

y之间的线性相关程度的方法。

复相关系数与复可决系数检验中的“复”是相对于一元函数而言。

复相关系数：自变量在两个以上，检验线性关系密切程度的指标，记为R

y,xx?x

，通常

用R表示。

复可决系数：复相关系数的平方R2。

2 p

1?????y?

1???

??y?y??2

y?y

i

i

i

?

2

R?

复相关系数检验法的步骤

计算复相关系数；

根据回归模型的自由度n-m和给定的显著性水平?值，查相关系数临界值表；

判别。

调整可决系数

R2?1??1?R2?n?1

? ?

? ?n?m

R2是一个随自变量个数增加而递增的函数，所以，当对两个具有不同自变量个数但性质相

同的回归模型进行比较时，不能只用R2作为评价回归模型优劣的标准，还必须考虑回归模

型所包含的自变量个数的影响。

R 2消除了自变量个数不同的影响，可以用于不同自变量个数间模型的比较。

R2检验的目的

检验模型对原始数据的拟合程度，或对原始数据信息的解释程度。

二、F检验

1．检验目的

通过F统计量检验假设H

:??? ???? ?0是否成立的方法。回归方程的显著性检

0 1 2 m

验是检验所有系数是否同时为0，

?2．F统计量

?

????y?

?

?

?y2? ? ? ?

i

F??y?y?

m?1

2? ?

，m-1是回归变差?

y??y

i

的自由度，n-m

是剩余变差

? i ?i

n?m

? y?y?

i i

2的自由度。

F服从自由度为?m?1,n?m?的F分布。

回归效果不显著的原因

1）影响y的因素除了一组自变量x,x,?,x

1 2 m

之外，还有其他不可忽略的因素。

2）y与一组自变量x,x,?,x

1 2 m

3）y与一组自变量x,x,?,x

1 2 m

之间的关系不是线性的。之间无关。

解决办法

分析原因另选自变量或改变模型的形式。

三、t检验1．检验目的

回归系数的显著性检验是检验某个系数是否为0。

2．T统计量

Qn?

Q

n?m

?0；统计量：t? b S