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行列式及运算

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目录

行列式基本概念

行列式性质与运算规则

行列式按行（列）展开法则

克拉默法则及其应用

范德蒙德行列式与计算技巧

行列式在计算机领域应用

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行列式基本概念

行列式的定义

由n个数排成n行n列的数表称为n阶行列式，简称行列式。

行列式的性质

行列式具有线性性、交换性、结合性等基本性质，这些性质在行列式的计算和化简中起到重要作用。

行列式的阶数是指其行数或列数，通常用n表示。

行列式中的每一个数称为该行列式的一个元素，元素的取值范围可以是任意实数或复数。

元素

阶数

1

2

3

除主对角线外的元素全为零的行列式称为对角行列式，其值等于主对角线上元素的乘积。

对角行列式

主对角线以下（以上）的元素全为零的行列式称为上（下）三角行列式，其值等于主对角线上元素的乘积。

上（下）三角行列式

一种具有特殊形式的行列式，其值可以通过特定的公式计算得到，常用于多项式插值和数值计算等领域。

范德蒙德行列式

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行列式性质与运算规则

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行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数$k$，等于用数$k$乘此行列式。

02

行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

03

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。

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把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。

交换行列式中的两行（列），行列式变号（交换）。

行列式中某行（列）的公因子，可以提出放到行列式之外（提取）。

若行列式中，某行（列）各元素都是两数之和，则可以拆分成两个行列式再求和（拆分）。

行列式的某行乘以$a$，加到另外一行，行列式不变，常用于消去某些元素（倍加）。

三角形行列式的值，等于对角线元素的乘积。计算时，一般需要多次运算来把行列式转换为上三角型或下三角型。

2.降阶法计算行列式

根据行列式的特点，通过展开某一行（列）或利用拉普拉斯定理等方法，将高阶行列式转化为低阶行列式进行计算。

3.递推法计算行列式

对于具有某种递推关系的行列式，可以通过找出递推关系式并求解的方法来计算行列式的值。

1.利用性质计算行列式

通过利用行列式的性质，如交换、提取公因子、倍加等，简化行列式的计算过程。

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行列式按行（列）展开法则

任意行列式可以表示为其任意一列的元素与其对应代数余子式的乘积之和。

某一列的元素与另一列对应元素的代数余子式乘积之和为零。

1

2

3

在n阶行列式中，任意取k行（列），由这k行（列）元素所组成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积之和等于行列式的值。

拉普拉斯定理可以用来简化行列式的计算，特别是当行列式中包含大量零元素时。

通过选择适当的k值，可以灵活应用拉普拉斯定理，降低计算复杂度。

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克拉默法则及其应用

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克拉默法则（CramersRule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。

该法则适用于具有相同数量方程的方程组，且系数矩阵的行列式不为零的情况。

克拉默法则通过计算系数矩阵的行列式以及替换某一列后的新行列式，来求解方程组的解。

对于二元一次方程组，克拉默法则可以直接给出x和y的解。

对于三元一次方程组，需要先计算系数矩阵的行列式D，再分别计算替换每一列后的新行列式Dx、Dy和Dz，最后通过公式求解x、y和z的值。

克拉默法则同样适用于更高元数的线性方程组，但计算量会随着元数的增加而增大。

在矩阵运算中，克拉默法则可以用于求解矩阵的逆。

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对于一个n阶矩阵A，若其行列式|A|不等于0，则A可逆，且A的逆矩阵可以通过克拉默法则求出。

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具体地，A的逆矩阵的第i行第j列元素等于|A|分之1乘以矩阵A中第j列替换为单位矩阵的第i列后得到的新矩阵的行列式。

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范德蒙德行列式与计算技巧

范德蒙德行列式是一种特殊的行列式，其元素由两组数的幂构成，具有特定的形式和性质。

定义

范德蒙德行列式具有可拆分性、对称性、递推关系等性质，这些性质使得范德蒙德行列式在计算和证明中具有重要作用。

性质

转化法

将范德蒙德行列式转化为其他易于计算的行列式形式，如拉普拉斯展开式等。

递推法

利用范德蒙德行列式的递推关系，逐步简化计算过程。

数学归纳法

对于具有某种规律性的范德蒙德行列式，可采用数学归纳法进行证明和计算。

计算范德蒙德行列式Dn=|11...1;x1x2...xn;...;x1^(n-1)x2^(n-1)...xn^(n-1)|。

例题1

根据范德蒙德行列式的定义和性质，可采用递推法或数学归纳法进行求解。具体步骤包括将Dn表示为Dn-1和Dn-2的线性组合，然后逐步简化计算过程。

解析

证明范德蒙德行列式Dn满足递推关系Dn=x1Dn-1+x2Dn-2+...+xnDn