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随机向量及其分布
随机向量的定义与性质
随机向量的分布
随机向量的概率计算
随机向量的期望与方差
随机向量的变换
随机向量在统计推断中的应用
目录
随机向量的定义与性质
由随机试验产生的、取值于多维实数空间的一组随机变量。
随机向量是多个随机变量的组合，这些随机变量可以独立或相关。它们取值于多维实数空间，即每个随机变量都可以取多个不同的值。
定义解释
随机向量
如果随机向量的取值是离散的，可以用一个表格来表示其联合概率分布。
离散型随机向量
如果随机向量的取值是连续的，可以用一个函数来表示其联合概率分布。
连续型随机向量
随机向量的分布
离散型随机向量是指其取值是离散的随机向量。
定义
例如，一个随机向量可能只取{0,1}或{-1,0,1}等有限个值。
例子
可以使用概率质量函数（PMF）来描述离散型随机向量的分布。
描述
定义
连续型随机向量是指其取值是连续的随机向量。
描述
可以使用概率密度函数（PDF）来描述连续型随机向量的分布。
例子
例如，一个随机向量可能取任何实数值。
定义
混合型随机向量是指其取值既不是完全离散也不是完全连续的随机向量。
例子
例如，一个随机向量可能取有限个离散值和无限个连续值。
描述
可以使用概率质量函数和概率密度函数一起描述混合型随机向量的分布。
随机向量的概率计算
总结词
联合概率分布描述了随机向量中所有随机变量的概率分布情况，即每个随机变量在所有可能取值下的概率。
详细描述
联合概率分布是描述随机向量中所有随机变量取值情况的概率分布表或函数，它给出了每个随机变量在各自可能取值范围内的概率。在二维随机向量中，联合概率分布可以表示为一个二维表格，其中每个单元格表示两个随机变量同时取特定值的概率。
VS
边缘概率分布描述了随机向量中某个特定随机变量的概率分布情况，不考虑其他随机变量的影响。
详细描述
边缘概率分布是指从联合概率分布中提取某个特定随机变量的概率分布情况。对于二维随机向量，我们可以分别计算出其中一个随机变量的概率分布，即边缘概率分布。边缘概率分布只考虑该随机变量的取值情况，而不考虑另一个随机变量的取值。
总结词
总结词
条件概率分布描述了在给定其他随机变量取值的条件下，某个随机变量的概率分布情况。
详细描述
条件概率分布是指在某个或某些随机变量取特定值的条件下，另一个随机变量的概率分布情况。它反映了在给定条件下，随机变量的变化规律和不确定性。条件概率分布在贝叶斯定理和条件独立性检验等方面有广泛应用。
随机向量的期望与方差
定义
01
随机向量的期望值是所有可能取值的加权平均，其中权重为每个取值的概率。
计算方法
02
对于离散随机向量，期望值是每个可能取值的概率乘以其值，然后求和；对于连续随机向量，期望值是每个可能取值的概率密度函数与该取值的乘积在定义域上的积分。
意义
03
期望值反映了随机向量的“平均”或“中心”趋势。
定义
方差是随机向量与其期望值之间离散程度的度量。
计算方法
对于离散随机向量，方差是每个可能取值与期望值的差的平方的概率加权和；对于连续随机向量，方差是每个可能取值与期望值的差的平方乘以概率密度函数，然后在定义域上的积分。
意义
方差反映了随机向量取值分散的程度。
衡量两个随机向量之间的线性关系的度量，表示两个向量同时偏离各自期望的程度。
协方差
协方差标准化后的结果，用于消除两个随机向量规模差异的影响，范围在-1到1之间。
相关系数
协方差和相关系数可以帮助我们了解两个随机变量之间的关系强度和方向。
意义
01
02
03
随机向量的变换
线性变换的性质
线性变换具有加法性质和数乘性质，即对于任意两个向量x和y以及常数a和b，有T(x+y)=T(x)+T(y)和T(ax)=aT(x)。
线性变换的矩阵表示
对于一个线性变换T，存在一个矩阵A，使得T(x)=Ax，其中x为输入向量。
线性变换的定义
线性变换是保持向量空间中向量之间的线性关系不变的变换。
非线性变换是指不保持向量之间线性关系的变换。
非线性变换的定义
非线性变换具有不同于线性变换的性质，例如T(x+y)不一定等于T(x)+T(y)和T(ax)不一定等于aT(x)。
非线性变换的性质
非线性变换在许多领域都有应用，例如图像处理、信号处理、神经网络等。
非线性变换的应用
03
投影的性质
投影具有非扩张性质，即对于任意向量x，有||Px||≤||x||，其中P是投影矩阵，x是输入向量。
01
投影的定义
投影是将一个向量映射到另一个子空间的过程，通常用于降低数据的维度或提取数据的特征。
02
投影矩阵
投影矩阵是用于执行投影操作的矩阵，其行向量是子空间的基向量。
随机向量在统计推断中的应用
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通过比较不同组数据的方差来分析它们是否存在显著差异，以判断不同因素对观测值的影响。
方差分析的基本思
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