七年级数学上册专题1.2 有理数（学生版）（人教版）.docxVIP

专题1.2有理数

目标导航

目标导航

有理数的概念

⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）

⑵正分数和负分数统称为分数

⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能化成分数，也是有理数

注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

有理数的分类

⑴按有理数的意义分类

⑵按正、负来分

总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）；②负整数、0统称为非正整数；③正有理数、0统称为非负有理数；④负有理数、0统称为非正有理数；

3.数轴

（1）数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：①数轴是一条向两端无限延伸的直线；②原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；③同一数轴上的单位长度要统一；④数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

（2）数轴上的点与有理数的关系

①所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

②所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）

（3）利用数轴表示两数大小

①在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；

②正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；

③两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

（4）数轴上特殊的最大（小）数

①最小的自然数是0，无最大的自然数；

②最小的正整数是1，无最大的正整数；

③最大的负整数是-1，无最小的负整数

（5）a可以表示什么数

①a0表示a是正数；反之，a是正数，则a0；

②a0表示a是负数；反之，a是负数，则a0

③a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0

4.相反数

（1）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；

③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。

（2）相反数的性质与判定

①任何数都有相反数，且只有一个；

②0的相反数是0；

③互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0

（3）相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。

说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

（4）相反数的求法

①求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；

②求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；

③求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)

（5）相反数的表示方法

①一般地，数a的相反数是-a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。

当a0时，-a0（正数的相反数是负数）

当a0时，-a0（负数的相反数是正数）

当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）

5.绝对值

①绝对值的几何定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。

②绝对值的代数定义

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

可用字母表示为：

如果a0，那么|a|=a；如果a0，那么|a|=-a；③如果a=0，那么|a|=0。

可归纳为①：a≥0，═|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）

②a≤0，═|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）

6.有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；

⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。

考点精讲

考点精讲

考点1：有理数分类

典例：（2022·全国·七年级）把下列各数填在相应的集合里：3，﹣1，﹣2，0.5，，﹣0.75，0，30%，π．

负数集合：{…}；

整数集合：{…}；

正有理数集合：{…}．

巩固练