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读谷超豪《数学物理方程》读书报告

读谷超豪《数学物理方程》

本书详细的介绍了偏微分方程对于应用数学中起到的作用，这些方程以直接的方式表示了Newton的动力学运动基本定律，随后，称述有关流体和带电粒子的运动，大气运动，以及无数物理，化学，工程现象的基本定律的微分方程的建立得到了认同显示了偏微分方程的崇高地位。

书中的前几篇所研究的偏微分方程都是线性的，但在工程实践中遇上的许多问题都是与非线性方程有关的,在有些情况下,人们为了便于研究工作的展开,对实际问题补充了一些合理的假设,略去了一些次要的非线性项,这样得出了线性方程.可是有时这些非线性项很重要,无法略去,这样我们就必须要面对非线性方程求解的问题.

极小曲面问题

设Ω是平面上的有界区域，它的边界?Ω是充分光滑的，其方程为

x=x（s）

（0≤s≤s0

y=u（s）

式中，x(0)=x(s0),y(0)=y(s0)，即?Ω

在空间作一条闭曲线l，在其平面上的投影为?Ω，则

x=x

y=ys（0≤s≤

u=

这里φ0=

所谓的极小曲面的问题，我们振动在区域内有着这样的一个定义

Ω

在这个区域上定义一张曲面S，要求

（1）S以l为的周界

（2）在所有的S中，求表面积最小的曲面S

在做这道题目的时候就需要用到我们学习过的微积分知识了，这里面的内容类似与微积分中学过的一元或者是二元函数的局部极值和定义和费马定理，在学习的时候结合起来，内容记忆起来也很方便。

假设空间曲面方程为

v=v（x，y）

则由微积分的理论可知，这个曲面的表面积为

j（v）=

于是上述极小曲面的问题就变成了求一个函数u的题目，使得

u=u（x，y）所表示的曲面以l为周界，即

u∈M

其中

M

J(u)=minJ(v)

这就成了一个变分的问题了

如何求出变分问题式的解呢？

我们首先来看，假如u∈M

我们先定义

M

任取

v∈M

那么对任意的

ε∈?∞，+

记jε

J（u）由式

j（v）=

确定，从式中可以知道jε

由于u是式J(u)=minJ(v)的解，

所以对任意

ε∈R，J(ε)≥J(o)，

即J(ε)在ε=0，处取的是最小的值，故j?(0)?0

从中可以算出

j?

0t??

假若u具有更好的光滑性，例如u∈c

则格力公式可得为

0t??

由于v∈M

v｜?Ω

因此上式左端的第二项为零，再由v的任意性及被积函数的连续性可知

??xu

这个方程称为变分问题的欧拉方程

上面的推导说明，如果u是

J(u)=minJ(v)

的解，且

u∈

则u必须满足，当然还应该满足边界条件

u｜?Ω=

由于此类算子的特征结构比较的复杂，书中介绍的主要方程，内容，相关的结论是：上述的方程有唯一的主特征值，它对应的方程有个重点结论，假若u具有更好的光滑性，则由v的任意性和被积函数的连续性可以把这个方程的变分问题解决。

xyy因此定义在Ω上且以空间曲线l为周界的极小曲面u=u(x,y)必定在Ω内满足并在?Ω上满足边界条件式可以改写成

x

yy

（1+uy）ux-2

这个方程通常就称为极小曲面方程，那么这个极小曲面方程有什么特点呢，它关于一阶导数ux，u

我们以极小曲面问题为例，得到了一个非线性偏微分方程，其实在力学，物理学以及几何学中，都要着大量的非线性偏微分方程，有一阶非线性偏微方程，有二阶非线性偏微方程。

列如在热传导系数k，k不是常数，而是温度的函数，则三维热传导方程为

?

=

这也是一个非线性方程。

在流体力学中，描述粘性气体运动的方程是著名的纳威斯托克斯方程，

其表达式为

?

连续方程

d

动量方程

上面我们给出了一些描述不同现象的非线性方程或方程组，现在对它们的特点作进一步的分析以便分类及求解。最高导数部分纯粹是线性的，它的非线性只出现在函数u及其一阶导数项，这样的方程称为半线性方程对最高阶导数来说是线性的，但它们的系数依赖于未知函数的非最高阶导数，这样的方程称为是拟线性的，它的特点是对最高阶导数也是非线性的，这样的方程称为完全非线性方程，显而易见，完全非线性方程的非线性程度最高，半线性方程的非线性程度最低，拟线性方程的非线性程度介于两者之间。

对于非线性偏微分方程，一般说来是无法求出解的表达式的，只能求其近似解。但对一些很特殊的情形，通过适当的未知函数的变换将方程化成线性方程，或者经过适当的数学处理化成可以求解的方程，下面举例说明

在流体力学中有一个很重要的方程叫做比尔比尔吉斯方程

u

是一个非线性的一阶偏微方程，为了解这个方程，

我们需要先令

v

在令

v=

则得

?

这