清华大学微积分高等数学课件第19讲定积分应用一.pptxVIP

清华大学微积分高等数学课件第19讲定积分应用一定积分基本概念与性质定积分在几何学中应用定积分在物理学中应用定积分在经济学中应用定积分在工程学中应用定积分计算方法与技巧目录CONTENCT01定积分基本概念与性质定积分定义及几何意义定积分的定义定积分是函数在某一区间上的积分，表示函数图像与x轴所围成的面积。定积分的几何意义定积分的几何意义可以理解为在平面直角坐标系中，由函数图像、x轴以及两条垂直于x轴的直线所围成的封闭图形的面积。定积分性质与运算法则定积分的性质定积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不等式性质等。定积分的运算法则定积分的运算法则包括积分区间可加性、常数因子可提取性、积分和微分互逆性等。可积条件与可积函数类可积条件可积函数类函数在某一区间上可积的充分必要条件是函数在该区间上有界且只有有限个间断点。连续函数、只有有限个第一类间断点的函数、单调有界函数等都是可积的。VS02定积分在几何学中应用平面图形面积计算100%80%80%极坐标系下面积计算直角坐标系下面积计算参数方程下面积计算利用极坐标与直角坐标的转换关系，将极坐标下的面积计算转化为直角坐标系下的面积计算。通过定积分求解两函数围成的面积，转化为求解被积函数的原函数在区间上的差值。通过参数方程将曲线表示为参数的函数，进而利用定积分求解围成的面积。空间立体体积计算旋转体体积计算以平面图形绕某一直线旋转一周形成的旋转体体积，可通过定积分求解。平行截面面积为已知的立体体积若立体的平行截面面积可用某一函数表示，则可用定积分求解该立体体积。曲线弧长计算平面曲线弧长计算通过定积分求解曲线弧长，需要将弧长微元用直线段近似代替，进而求解弧长。空间曲线弧长计算空间曲线的弧长计算与平面曲线类似，需要将弧长微元投影到某一平面上，然后利用定积分求解。03定积分在物理学中应用变力做功问题求解利用定积分计算变力在移动路径上所做的功。根据物体的移动路径，确定积分上下限$a$和$b$。通过分析物体的受力情况，确定变力函数$F(x)$的表达式。变力做功的基本公式：$W=int_{a}^{b}F(x)dx$，其中$F(x)$是变力函数，$a$和$b$是积分上下限，表示物体移动的范围。液体静压力计算对于平面壁受到的液体压力，可以通过定积分计算压力分布函数与壁面积的乘积得到总压力。液体静压力的基本公式：$P=rhogh$，其中$rho$是液体密度，$g$是重力加速度，$h$是液体深度。对于曲面壁受到的液体压力，需要将曲面划分为若干个小平面，分别计算每个小平面上的压力，再利用定积分求和得到总压力。其他物理量如电荷量、磁通量等计算磁通量的计算在磁场中，磁感线可以看作是空间中的一种向量场。通过定积分可以计算某个区域内的总磁通量。电荷量的计算在电场中，电荷分布可以看作是空间中的一种密度分布。通过定积分可以计算某个区域内的总电荷量。其他物理量的计算定积分还可以应用于计算其他物理量，如质心、转动惯量等。需要根据具体问题的物理背景和数学模型进行分析和计算。04定积分在经济学中应用总收益与总成本计算总收益计算通过定积分计算在一定时间或产量范围内，产品销售所得的总收益。总成本计算利用定积分计算在一定时间或产量范围内，企业生产经营所耗费的总成本。利润最大化结合总收益与总成本，分析企业如何实现利润最大化。边际收益与边际成本分析010203边际收益边际成本边际分析表示在某一产量水平上，每增加一个单位产量所带来的总收益的增加量。表示在某一产量水平上，每增加一个单位产量所带来的总成本的增加量。通过比较边际收益与边际成本，判断企业是否应该继续扩大生产规模。消费者剩余和生产者剩余计算消费者剩余生产者剩余消费者在购买商品时愿意支付的最高价格与实际支付价格之间的差额。生产者在销售商品时实际收到的价格与愿意接受的最低价格之间的差额。社会福利分析通过计算消费者剩余和生产者剩余，评估市场交易的公平性和社会福利水平。05定积分在工程学中应用曲线形构件惯性矩和惯性积计算惯性矩定义惯性积定义计算方法反映曲线形构件截面形状对弯曲刚度影响的物理量，是截面各微元面积与其到指定轴距离平方的乘积之和。反映曲线形构件截面中任意两点间微元面积对指定点力矩之和的物理量，用于计算截面的主惯性轴和主惯性矩。通过定积分求解曲线形构件截面的惯性矩和惯性积，需要确定截面的形状函数和密度函数，并根据定义进行相应的积分运算。曲线形构件截面面积和重心位置确定截面面积计算通过定积分求解曲线形构件截面的面积，需要将截面划分为若干个微元，并求出每个微元的面积，然后对所有微元面积进行求和。重心位置确定根据截面面积的定积分结果，可以进一步求出曲线形构件截面的重心位置。重心位置的坐标可以通过分别求出截面面积对指定轴的静矩，再除以截面面积得到。其他工程问题如材料力学、流体力学等