高三复习：三角函数模型及解三角形应用举例(含解析答案).pdfVIP

§4.8三角函数模型及解三角形应用举例

解三角形应用题的一般步骤

(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．

(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．

(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．

(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．

题型一测量距离、高度问题

例1(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种

路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，

然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC

匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，

再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经

123

测量cosA＝，cosC＝.

135

①求索道AB的长；

②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

③为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

题型二测量角度问题

例2如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海

里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里

的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，

此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃

窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所

需时间．

题型三利用三角函数模型求最值

例3如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相

垂直的十字形，其中yx0.

(1)将十字形的面积表示为θ的函数；

(2)θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

变式如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，且

60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地

面间的距离为h.

(1)求h与θ间关系的函数解析式；

(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高

点时用的最少时间是多少？

课堂练习：

π



1．已知△ABC，C为坐标原点O，A(1，sinα)，B(cosα，1)，α∈0，，则当△OAB的面积

2

达到最大值时，α＝______.

2．某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是3

km，那么x的值为________．

3．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，

在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C处的乙船，现

乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ等于________．

4.8三角函数模型及解三角形应用举例作业

1．如图为一半径是3m的水轮，水轮的圆心O距离水面2m．已知水

轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足

函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2(ω0，A0)，则ω＝________，A＝

________.

2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，

则甲、乙两楼的高分别是________________．

3.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与

D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，求

塔高AB.

4．某渔船在航行中不幸