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汇报人：AA2024-01-25THEFIRSTLESSONOFTHESCHOOLYEAR课件微积分基本公式

目CONTENTS微分学基本概念与公式积分学基本概念与公式微分方程基本概念与解法多元函数微积分基本概念与公式无穷级数基本概念与公式总结回顾与拓展延伸录

01微分学基本概念与公式

函数在某一点处的切线斜率，描述了函数值随自变量变化的快慢程度。导数定义函数在某一点处的微小变化量，即函数的局部线性逼近。微分定义导数与微分定义

三角函数如$sinx,cosx,tanx$等，其导数可通过相应的公式求得。对数函数$f(x)=lnx$，其导数为$f(x)=frac{1}{x}$。指数函数$f(x)=e^x$，其导数为$f(x)=e^x$。常数函数$f(x)=c$，其导数为$f(x)=0$。幂函数$f(x)=x^n$，其导数为$f(x)=nx^{n-1}$。常见函数导数公式

函数导数的导数称为二阶导数，二阶导数的导数称为三阶导数，以此类推。通过连续求导得到高阶导数，例如$f(x),f(x)$等。高阶导数及计算方法计算方法高阶导数定义

微分中值定理若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，则存在至少一点$cin(a,b)$，使得$f(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。应用微分中值定理在证明不等式、求解方程和近似计算等方面有广泛应用。例如，通过中值定理可以证明某些复杂函数的单调性或凹凸性。微分中值定理及应用

01积分学基本概念与公式

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，将区间$[a,b]$分成$n$个小区间，每个小区间的长度记为$Deltax_i$，在每个小区间上任取一点$xi_i$，作和式$sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Deltax_i$。当$n$趋于无穷大，且小区间的最大长度趋于零时，该和式的极限值称为函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，记作$int_{a}^{b}f(x)dx$。定积分定义设函数$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，则$f(x)$的所有原函数称为$f(x)$的不定积分，记作$intf(x)dx=F(x)+C$，其中$C$为任意常数。不定积分定义定积分与不定积分定义

多项式函数积分公式：$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$常见函数积分公式

三角函数积分公式$intsinxdx=-cosx+C$$intcosxdx=sinx+C$常见函数积分公式

$inttanxdx=-ln|cosx|+C$指数函数与对数函数积分公式$inte^xdx=e^x+C$常见函数积分公式

$inta^xdx=frac{a^x}{lna}+C$（$a0,aneq1$）$intlnxdx=xlnx-x+C$常见函数积分公式

$int[k_1f_1(x)+k_2f_2(x)]dx=k_1intf_1(x)dx+k_2intf_2(x)dx$线性性质$int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{c}f(x)dx+int_{c}^{b}f(x)dx$积分区间可加性$intudv=uv-intvdu$（其中$u,v$为可微函数）乘法法则积分性质与运算法则

无穷限广义积分设函数$f(x)$在区间$[a,+infty)$（或$(-infty,b]$）上连续，则$int_{a}^{+infty}f(x)dx=lim_{tto+infty}int_{a}^{t}f(x)dx$（或$int_{-infty}^{b}f(x)dx=lim_{tto-infty}int_{t}^{b}f(x)dx$）称为无穷限广义积分。无界函数广义积分设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上除点$cin(a,b)$外连续，在点$c$处无界。若$lim_{epsilonto0^+}int_{a}^{c-epsilon}f(x)dx+lim_{epsilonto0^+}int_{c+epsilon}^{b}f(x)dx$存在且与$epsilon$的取法无关，则称此极限值为无界函数广义积分$int_{a}^{b}f(x)dx$。广义积分简介

01微分方程基本概念与解法

一阶线性微分方程的标准形式常数变易法求解一阶线性微分方程初始值问题的求解应用举阶线性微分方程解法

可分离变量微分方程的定义求解举例分离变量法的基本步骤注意事项