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哈工大概率论和数理统计汇报人：AA2024-01-20概率论基本概念一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布数理统计基本概念与方法假设检验与方差分析回归分析初步了解CONTENTS目录CHAPTER01概率论基本概念样本空间与事件事件必然事件样本空间的子集，即某些可能结果的组合。包含样本空间中所有样本点的事件。样本空间基本事件不可能事件所有可能结果的集合，常用大写字母S表示。只包含一个样本点的事件。不包含任何样本点的事件。概率定义及性质概率定义事件A发生的可能性大小的度量，记为P(A)。概率性质非负性、规范性、可列可加性。等可能概型每个基本事件发生的可能性都相等的情况。几何概型与几何图形有关的概率问题，常用面积、体积等几何量来表示概率。条件概率与独立性事件的独立性条件概率如果事件A与事件B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)。在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)。1多个事件的独立性如果一组事件两两独立，则它们相互独立。乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)。全概率公式与贝叶斯公式全概率公式如果事件B1,B2,...,Bn构成一个完备事件组，且都有正概率，则对任意事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。贝叶斯公式在全概率公式的条件下，可以求出事件Bi已发生的条件下事件A发生的概率，即P(Bi|A)=P(ABi)/P(A)=P(Bi)P(A|Bi)/∑P(Bj)P(A|Bj)。CHAPTER02一维随机变量及其分布随机变量定义及分类定义设随机试验的样本空间为S，如果对于每一个样本点e∈S，都有一个实数X(e)与之对应，这样就得到一个定义在S上的单值实函数X(e)，则称X(e)为随机变量。分类根据随机变量可能取值的性质不同，随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量及其分布律离散型随机变量的定义如果随机变量只可能取有限个或可列个值时，则称该随机变量为离散型随机变量。分布律对于离散型随机变量X，其取值为xk的概率为P{X=xk}=pk，k=1,2,...。其中，pk满足非负性和规范性，即0≤pk≤1且∑pk=1。连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量的定义概率密度如果随机变量可以在某个区间内取任一实数值，即它的取值充满一个区间，则称该随机变量为连续型随机变量。对于连续型随机变量X，如果存在一个非负可积函数f(x)，使得对任意实数ab，有P{aX≤b}=∫abf(x)dx，则称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度。VS随机变量函数分布离散型随机变量函数的分布设X为离散型随机变量，其分布律为P{X=xk}=pk，k=1,2,...。若Y=g(X)是X的函数，则Y也是离散型随机变量，其分布律可以通过X的分布律求得。连续型随机变量函数的分布设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)。若Y=g(X)是X的单调函数，则Y也是连续型随机变量，其概率密度可以通过X的概率密度求得。具体地，当g(x)严格单调时，Y的概率密度为fY(y)=fX[h(y)]|h′(y)|，其中h(y)是g(x)的反函数。CHAPTER03多维随机变量及其分布二维随机变量联合分布联合分布函数联合分布律设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数F(x,y)=P{(X=x)∩(Y=y)}称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数。如果二维随机变量(X,Y)所有可能取的值是有限的，并且每一个基本事件{(X=x,Y=y)}发生的概率是已知的，则称P{X=x,Y=y}为二维随机变量(X,Y)的联合概率分布律，简称联合分布律。边缘分布与条件分布要点一要点二边缘分布条件分布边缘分布函数是指随机变量中各个随机变量的取值对应的概率值相乘之积的和。边缘分布亦称边沿分布或边际分布。同时也成为马尔科夫链中的重要概念。条件分布律，其实就是固定一个变量的值，研究另一个变量的分布情况。相互独立随机变量定义性质两个随机变量的独立性只能通过联合分布函数和边缘分布函数，或用联合概率密度和边缘概率密度来表达。若两个随机变量相互独立，则一个随机变量的取值不影响另一个随机变量的取值，即它们之间没有直接的依赖关系。多维随机变量函数分布定义求解方法多维随机变量函数分布是指由多维随机变量的函数所确定的概率分布。多维随机变量函数分布的求解通常涉及到变换的雅可比行列式、多维积分的计算等知识点。常用的方法包括直接法、变换法、卷积公式法等。CHAPTER04数理统计基本概念与方法总体与样本概念介绍总体01研究对象的全体个体组成的集合，通常用一个概率分布来描述。样本02从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。样本容量03样本中包含的个体数目，用n表示。统计量定义及常见类型统计量由样本数据计算出来的量，用于描述样本特征或推断