《实变函数与泛函分析》教学大纲-数学专业.pdfVIP

实变函数与泛函分析

教学大纲

应用数学与信息计算等专业使用

修订单位：山东财政学院统计与数理学院

修订时间：2009年8月修订

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课程中文名称：实变函数与泛函分析

课程英文名称：RealAnalysisandfunctionalAnalysis

课程号

学时数：68

学分数：4

先修课程：数学分析、线性代数

适用专业：应用数学与信息计算等专业。

一、课程的性质和任务

1.课程性质

《实变函数与泛函分析》是数学专业的一门专业基础课程。《实变函数》课

程结合抽象测度与积分理论,介绍Lebesgue测度与Lebesgue积分的理论。通

过本课程的学习,应使学生掌握测度论和实变函数论的基本理论和方法,并且

应用所学知识,解决一些相关的理论和应用问题,解决一些具有一定难度的习

题。同时,通过本课程的学习,要加深学生对数学分析课程中知识的理解,培养

学生严密的逻辑思维能力。《泛函分析》课程是现代教学中的一门较新的数学分

支，它综合地运用分析的，代数和几何的观点，方法研究分析数学中的许多问题，

由它把具体的分析问题，由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓

扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了综合运用代数，几何平段处理问题的

新方法，正因为这种纯粹形式的代数，拓扑结构是跟植于肥沃的经典分析和数学

物理土壤之中的，所以由此发展起来的基本概念，定理和方法也就显的更为广泛，

更为深刻，现在泛函分析已成为一门内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛

的独立分支，通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，

而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统

计物理，工程技术等领域有很大帮助。

学生通过学习本课程，既能从较高的观点总结一、二年级学过的分析、代

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数中的有关概念、理论和方法，又能获得抽象思维和逻辑论证的进一步训练，

为今后深入学习拓扑、微分方程、随机过程、最优化等现代数学各个学科提供

基础。

2.课程任务

通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象

能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去

分析解决问题的能力。

从内容上，通过这门课程的教学应使学生熟练掌握本课程的基本概念、基本

理论及其推导过程。系统掌握Lebesgue测度和Lebesgue积分理论，距离空间

的一些基本概念，赋范线性空间与内积空间基本概念，有界线性算子的概念，

共轭空间以及Banach空间一系列重要基本定理，线性算子性质，泛函表示定理，

共轭算子，自共轭算子概念等，使学生了解和掌握逐步深入地分析问题和解决问

题的方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养抽象的思维能力，为进一步钻

研现代数学数学理论打下基础。

从能力方面，加强学生抽象思维能力、逻辑推理能力、自学能力与科学创新

能力培养。

从教学方法上，坚持“学生是‘学’主体、教师是‘教’关键”的人性化教

育的指导思想。努力启发学生的学习积极性、主动性,指导学生学习数学的思维

方法,掌握数学的基本理论与技巧。课堂教学采取启发式、互动式。作业布置精

心挑选,各种方法、各种题型都能得到练习,举一反三。注重基本概念的实际背

景和概念的形成过程。

二、课程教学内容

第一章集合

教学目的与要求：

要求理解与掌握的基本内容：集的运算及其运算规律，映射以及与映射有

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关的一些概念。集的等势，可数集概念及其基本性质，实数集的不可数性。

教学重点与难点：

集的对等，Cantor三分集具有完备性，稀疏性。

教学内容：

1、集与集的运算：集的概念，集的运算，DeMorgan公式

2、映射与集的对等：映射的概念，Bernstein定理

3、可数集