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弹塑性力学
第四章弹性力学的基本方程与解法
一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件
对于在空间占有体积域V的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起
εσ
的小变形问题，若以u,,作为求解变量，则可以建立如下偏微分方程边值问题：
几何方程
ε1(,,)ε=1(∇u+u∇)
=u+u(1a)
ij2ijji2
广义胡克定律
σ=Eεσ=E:ε(1b)
ijijklkl
平衡方程
σ,+f=0∇⋅σ+f=0∀x∈V(1c)
ijji
以上方程均要求在域内各点均满足。
边界条件
u=u∀x∈Sui(2a)
ii
nσ=t∀x∈Sti(2b)
jjii
对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。当载荷或边
界条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。对于边界条件的提
法就有严格的要求。即要求：
SuiUSti=SSuiISti=∅(2c)
对于各向同性材料，其广义胡克定律可具体写成
σλεδε()
=+2Gσ=λtrεI+2Gε(3a)
ijkkijij
ε=1⎡(1+ν)σ−νσδ⎤ε=1⎡(1+ν)σ−νtr(σ)I⎤(3b)
⎣⎦⎣⎦
ijEijkkijE
σεuσε
以上就域内方程来说，一共是对于u,,的15个独立分量,,的15个
iijij
方程。对于边界条件来说，三维问题每点有三个边界条件，而且是在三个正
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