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7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）教学目标

7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）

教学目标

五年级奥数容斥原理之重叠问题（二）教师

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知识要点2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．

知识要点

一、两量重叠问题

在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成：AB?A?B?AB(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思．)则称这一公

式为包含与排除原理,简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为：AB,即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为：AB,即阴影面积．

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1．先包含——A?B

重叠部分A B计算了2次,多加了1次；2．再排除——A?B?A B

把多加了1次的重叠部分A B减去．

包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A、B的并集A B的元素的个数,可分以下两步

进行：

第一步：分别计算集合A、B的元素个数,然后加起来,即先求A?B(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来,加在一起)；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C?A B(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．

二、三量重叠问题

A类、B类与C类元素个数的总和?A类元素的个数?B类元素个数?C类元素个数?既是A类又是B类的元素个数?既是B类又是C类的元素个数?既是A类又是C类的元素个数?同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：ABC?A?B?C?AB?BC?AC?ABC．图示如下：

图中小圆表示A的元素的个数,中圆表示

图中小圆表示A的元素的个数,中圆表示B的元素的个数，大

圆表示C的元素的个数．

1．先包含：A?B?C

重叠部分A B、B C、C A重叠了2次,多加了1次．

2．再排除：A?B?C?A B?B

C?A

C

重叠部分A B C重叠了3次，但是在进行A?B?C?

A B?B C?A C计算时都被减掉了．3．再包含：A?B?C?A B?B C?A C?A B C．

在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．

例题精讲

【例1】 一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订了甲

、乙、丙三种报纸,其中甲报30份,乙报34份,丙报40份,那么既订乙报又订丙报的有 户。

【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】希望杯,4年级,1试

【解析】总共有（30＋34＋40）?2＝52户居民,订丙和乙的有52－30＝22户。

【答案】22户

【例2】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗,已知手中有红旗的共有34人,手中有黄旗的共有26人,手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人,手中只有黄、蓝两种小旗的有4人,手中只有红、蓝两种小旗的有3人,那么这个班共有多少人？

【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答

A

A

B

C

【解析】如图,用A圆表示手中有红旗的,B圆表示手中有黄旗的,C圆表示手中有蓝旗的．如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加,发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次,应减去,手中有三种颜色小旗的重复计算了二次,也应减去,那么,全班人数为：（34?26?18）?（9?4?3）?6?2?50(人)．

【答案】50人

【巩固】某班有42人,其中26人爱打篮球,17人爱打排球,19人爱踢足球,9人既爱打篮球又爱踢足球,4人既爱打排球又爱踢足球,没有一个人三种球都爱好,也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？

【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】由于全班42人没有一个人三种球都不爱好,所以全班至少爱好一种球的有42人．根据包含排除法,42?（26?17?