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概率论与数理统计龙永红汇报人：AA2024-01-19

概率论基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布数理统计基本概念与方法假设检验与方差分析回归分析初步了解目录

01概率论基本概念

样本空间与事件事件必然事件样本空间的子集，即某些可能结果的组合。包含样本空间中所有样本点的事件。样本空间基本事件不可能事件所有可能结果的集合，常用大写字母S表示。只包含一个样本点的事件。不包含任何样本点的事件。

描述某一事件发生的可能性大小的数值，常用P(A)表示事件A发生的概率。非负性、规范性（必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0）、可加性（互斥事件的概率之和等于它们并的概率）。概率定义及性质概率性质概率定义

条件概率与独立性条件概率在某一事件B已经发生的条件下，另一事件A发生的概率，记作P(A|B)。事件的独立性如果两个事件A和B的发生互不影响，即P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和B是相互独立的。

全概率公式与贝叶斯公式如果事件B1,B2,...,Bn构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任意事件A，有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。全概率公式在全概率公式的条件下，可以推导出贝叶斯公式，即P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/[P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)]，用于求解在事件A已经发生的条件下，各原因Bi发生的概率。贝叶斯公式

02随机变量及其分布

随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。定义随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量只能取有限个或可列个值，而连续型随机变量可以取某一区间内的任意值。分类随机变量定义及分类

分布律定义离散型随机变量的分布律描述了随机变量取各个值的概率。常见分布常见的离散型随机变量分布有0-1分布、二项分布、泊松分布等。离散型随机变量分布律

VS连续型随机变量的概率密度函数是一个非负可积函数，它描述了随机变量在某个区间内取值的概率。常见分布常见的连续型随机变量分布有均匀分布、指数分布、正态分布等。概率密度函数定义连续型随机变量概率密度函数

随机变量函数的分布描述了由随机变量构成的函数的取值概率。求解随机变量函数的分布通常需要先确定原随机变量的分布，然后根据函数关系进行变换和计算。函数分布定义求解方法随机变量函数分布

03多维随机变量及其分布

联合分布律定义对于二维随机变量(X,Y)，其联合分布律描述了X和Y同时取值的概率分布规律，即P{X=xi,Y=yj}，其中xi,yj为X,Y的可能取值。联合密度函数定义对于连续型的二维随机变量(X,Y)，其联合密度函数f(x,y)描述了X和Y在任意一点(x,y)处的概率密度，满足非负性和规范性。二维随机变量联合分布律/密度函数

边缘分布律定义二维随机变量(X,Y)中，X或Y单独取值的概率分布规律称为边缘分布律。对于离散型变量，边缘分布律可通过联合分布律对另一变量求和得到；对于连续型变量，边缘密度函数可通过联合密度函数对另一变量积分得到。要点一要点二边缘密度函数定义连续型二维随机变量(X,Y)的边缘密度函数fx(x)和fy(y)分别描述了X和Y单独取值的概率密度，可通过联合密度函数对另一变量积分得到。边缘分布律/密度函数

条件分布律定义在二维随机变量(X,Y)中，当已知X=xi或Y=yj时，Y或X的条件分布律描述了在此条件下Y或X的取值概率分布规律。对于离散型变量，条件分布律可通过联合分布律和边缘分布律计算得到；对于连续型变量，条件密度函数可通过联合密度函数和边缘密度函数计算得到。条件密度函数定义在连续型二维随机变量(X,Y)中，当已知X=x或Y=y时，Y或X的条件密度函数描述了在此条件下Y或X的概率密度。条件密度函数可通过联合密度函数和边缘密度函数的比值计算得到。条件分布律/密度函数

若二维随机变量(X,Y)的联合分布律（或联合密度函数）可表示为各自边缘分布律（或边缘密度函数）的乘积，即P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}（或f(x,y)=fx(x)fy(y)），则称X与Y相互独立。相互独立定义相互独立的随机变量意味着一个变量的取值不会影响另一个变量的取值概率。在实际应用中，相互独立性质可以简化概率计算和统计分析过程。相互独立性质相互独立随机变量

04数理统计基本概念与方法

研究对象的全体个体组成的集合，通常用一个概率分布来描述。总体从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。样本样本中包含的个体数目，通常用n表示。样本容量总体与样本

统计量样本的函数，用于描述样本的特征，如样本均值、样本方差等。统计量的