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2024-01-19

概率论与数理统计--统计量及其分布

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Contents

目录

统计量基本概念

抽样分布理论

参数估计方法

假设检验原理及应用

方差分析与回归分析初步

统计量在实际问题中应用举例

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01

统计量基本概念

统计量是样本空间上的实值函数，不依赖于任何未知参数。

统计量定义

统计量应具有代表性、无偏性、有效性等性质。

统计量性质

样本中所有观测值的算术平均数，用于估计总体均值。

样本中各观测值与样本均值之差的平方和的平均数，用于估计总体方差。

样本方差的算术平方根，用于衡量数据的离散程度。

样本的k阶原点矩和k阶中心矩，用于描述数据的分布形态。

样本均值

样本方差

样本标准差

样本矩

样本均值的计算

样本方差的计算

样本标准差的计算

样本矩的计算

将所有观测值相加后除以观测值个数。

取样本方差的算术平方根。

先计算各观测值与样本均值之差的平方和，再除以观测值个数减1。

根据定义直接计算k阶原点矩和k阶中心矩。

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02

抽样分布理论

抽样分布是指从总体中随机抽取一定容量的样本时，由样本统计量所形成的概率分布。

通过抽样分布可以了解样本统计量的概率性质，进而对总体参数进行推断。

抽样分布的意义

抽样分布定义

单个正态总体的抽样分布

当总体服从正态分布时，样本均值、样本方差等统计量均服从特定的分布，如样本均值服从正态分布，样本方差服从卡方分布。

两个正态总体的抽样分布

当两个总体均服从正态分布时，样本均值之差、样本方差比等统计量也服从特定的分布，如样本均值之差服从t分布，样本方差比服从F分布。

大样本近似法

当样本容量足够大时，根据中心极限定理，样本均值的分布近似于正态分布，从而可以利用正态分布的性质进行推断。

自助法

通过从原始样本中重复抽样来构造新的样本，进而得到样本统计量的近似分布。这种方法适用于总体分布未知或难以处理的情况。

经验分布函数法

利用经验分布函数来近似总体分布，从而得到样本统计量的近似分布。这种方法适用于总体分布较为复杂或难以确定的情况。

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03

参数估计方法

用样本矩作为总体矩的估计量，适用于总体分布形式已知但参数未知的情况。

矩估计法

根据样本观测值出现的概率最大原则来估计总体参数，适用于总体分布形式已知且样本量较大的情况。

最大似然估计法

通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配，适用于线性回归模型的参数估计。

最小二乘法

置信区间

根据样本统计量构造一个包含总体参数的区间，并给出该区间包含总体参数的可信程度。

估计量的期望值等于被估计的总体参数，即估计量在多次抽样下的平均值接近真实值。

无偏性

有效性

一致性

对于同一总体参数的两个无偏估计量，方差较小的估计量更有效。

随着样本量的增加，估计量的值逐渐接近被估计的总体参数。

03

02

01

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04

假设检验原理及应用

检验步骤

建立原假设和备择假设、选择适当的检验统计量并确定拒绝域、计算P值并作出决策。

原假设与备择假设

原假设是研究者想要拒绝的假设，备择假设是研究者想要支持的假设。

检验统计量与拒绝域

检验统计量是根据样本数据计算出的用于检验原假设的统计量，拒绝域是检验统计量取值的范围，若检验统计量落在拒绝域内，则拒绝原假设。

显著性水平与P值

显著性水平是事先设定的用于判断原假设是否成立的标准，P值是观察到的检验统计量对应的概率值，若P值小于显著性水平，则拒绝原假设。

用于检验单个正态总体均值是否等于某个已知值。

单样本t检验

用于检验单个正态总体方差是否等于某个已知值。

卡方检验

需要满足正态性、独立性和等方差性等前提条件。

注意事项

两独立样本t检验

配对样本t检验

F检验

注意事项

01

02

03

04

用于检验两个独立正态总体均值是否有显著差异。

用于检验两个相关正态总体均值是否有显著差异。

用于检验两个正态总体方差是否有显著差异。

需要满足正态性、独立性和等方差性等前提条件，同时注意选择合适的检验方法。

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05

方差分析与回归分析初步

方差分析是一种通过比较不同组别数据的方差来推断总体均值是否存在显著差异的统计方法。它基于F分布，通过计算组间方差和组内方差，构造F统计量进行假设检验。

方差分析原理

方差分析广泛应用于医学、社会科学、经济学等领域。例如，在医学研究中，可以比较不同治疗方法对患者病情的影响；在社会科学中，可以分析不同因素对人们行为或态度的影响；在经济学中，可以评估不同政策对经济发展的影响。

应用场景

回归分析原理

回归分析是一种研究自变量与因变量之间关系的统计方法。它通过构建回归模型，估计模型参数，并对模型进行检验和诊断，以揭示自变量对因变量的影响程度和方向。

应用场景

回归分析在各个领域都有广泛应用。例如，在医学研究中，可以分析患者特征与疾病发病