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概率论与数理统计同济大学
汇报人：AA
2024-01-19
课程简介与教学目标
概率论基本概念
随机变量及其分布
数理统计基础
参数估计方法
假设检验方法
方差分析与回归分析初步
课程总结与展望
课程简介与教学目标
01
01
它研究随机现象背后的数学规律，为各领域的科学研究提供有效的数学工具。
概率论与数理统计是数学的一个重要分支
02
在金融、经济、工程、生物医学等领域中，概率论与数理统计发挥着越来越重要的作用。
广泛的应用背景
03
通过学习概率论与数理统计，可以培养学生的逻辑思维和理性判断能力，提高分析和解决问题的能力。
培养理性思维
知识目标
掌握概率论与数理统计的基本概念、理论和方法，理解随机现象的数学本质。
能力目标
能够运用概率论与数理统计的知识和方法分析和解决实际问题，具备初步的科学研究能力。
素质目标
培养学生的数学素养和理性思维，提高学生的创新意识和实践能力。
03
02
01
《概率论与数理统计》（同济大学数学系编，高等教育出版社）
《概率论与数理统计教程》（茆诗松等编，高等教育出版社）、《概率论基础》（李贤平编，高等教育出版社）等。
参考书目
教材
概率论基本概念
02
随机事件
在一定条件下并不总是发生，也不总是不发生的事件。
概率
表示随机事件发生的可能性大小的数值，其值介于0和1之间。
古典概型
每个样本点等可能出现的概率模型，概率计算基于等可能原则。
1
2
3
在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率
两个事件相互独立，即一个事件的发生不影响另一个事件的发生概率。
独立性
计算多个事件同时发生的概率，特别适用于独立事件。
乘法公式
用于计算一个复杂事件发生的概率，该事件可以表示为若干互斥简单事件的并。
全概率公式
在已知某些条件下，更新某一假设的概率，即后验概率的计算方法。
贝叶斯公式
通过已知结果推测原因的概率问题，常用贝叶斯公式解决。
逆概率问题
随机变量及其分布
03
随机变量定义
随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。
随机变量分类
根据随机变量取值的特点，可以将其分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。
离散型随机变量只能取有限个或可列个值。
离散型随机变量
离散型随机变量的分布律可以用分布列或分布函数来描述。分布列给出了随机变量取各个值的概率，而分布函数则描述了随机变量取值小于等于某个值的概率。
分布律
连续型随机变量
连续型随机变量的取值是连续的，可以取某个区间内的任意值。
概率密度函数
连续型随机变量的概率分布可以用概率密度函数来描述。概率密度函数是一个非负可积函数，它在某个区间内的积分值等于随机变量落在这个区间内的概率。
数理统计基础
04
研究对象的全体个体组成的集合，通常用一个随机变量及其分布来描述。
总体
从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。
样本
样本中包含的个体数目，通常用n表示。
样本容量
样本的函数，用于描述样本的特征，如样本均值、样本方差等。
统计量
包括无偏性、有效性、一致性等，用于评价统计量的优劣。
统计量的性质
包含样本中所有关于总体的信息的统计量，具有简化推断过程的作用。
充分统计量
A
B
C
D
正态分布
一种连续型概率分布，具有钟形曲线特征，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
F分布
一种连续型概率分布，用于描述两个独立随机变量的方差之比的分布，常用于方差分析。
χ^2分布
一种连续型概率分布，用于描述多个独立标准正态随机变量的平方和的分布，常用于假设检验和置信区间的构建。
t分布
一种连续型概率分布，用于描述小样本情况下均值的抽样分布，具有厚尾特征。
参数估计方法
05
03
最小二乘法
通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配，适用于线性回归模型的参数估计。
01
矩估计法
用样本矩作为总体矩的估计量，适用于总体分布形式已知但参数未知的情况。
02
最大似然估计法
根据样本观测值出现的概率最大原则来估计总体参数，适用于总体分布形式已知但参数未知的情况。
置信区间法
利用样本数据构造一个区间，使得该区间包含总体参数真值的概率等于预先给定的置信水平。
容忍区间法
在给定置信水平下，构造一个区间使得总体参数落在这个区间内的概率最大。
预测区间法
利用样本数据对未来观测值进行预测，并构造一个区间使得未来观测值落在这个区间内的概率等于预先给定的置信水平。
无偏性
估计量的数学期望等于被估计的总体参数，即估计量在多次重复抽样下的平均值等于总体参数真值。
有效性
对于同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。
一致性
随着样本量的增加，估计量的值逐渐接近总体参数的真值。
充分性
如果样本中包含关于总体参数的全部信息，则称该样本是充分的。一个好的估计
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