概率论与数理统计---随机变量函数的数学期望.pptxVIP

概率论与数理统计---随机变量函数的数学期望汇报人：AA2024-01-19AAREPORTING2023WORKSUMMARY

目录CATALOGUE随机变量及其分布数学期望的定义与性质方差与协方差大数定律与中心极限定理参数估计与假设检验回归分析与方差分析AA

PART01随机变量及其分布

随机变量的定义与性质定义随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。性质随机变量具有可测性，即对于任意实数x，随机变量的取值小于等于x的事件是一个可测事件。

离散型随机变量是指其取值是有限个或可列个的随机变量。定义离散型随机变量的分布律可以用概率质量函数来描述，即随机变量取各个值的概率。分布律离散型随机变量及其分布律

定义连续型随机变量是指其取值充满一个区间（或若干个区间）的随机变量。概率密度连续型随机变量的概率密度函数是一个非负可积函数，它描述了随机变量在各个取值点的“概率密度”。连续型随机变量及其概率密度

VS随机变量的函数是指通过某种规则或运算将随机变量转换成另一个随机变量的过程。分布随机变量的函数的分布可以通过变换原随机变量的分布得到，具体方法取决于函数的性质和原随机变量的分布类型。例如，对于线性变换和正态分布等具有特殊性质的随机变量和函数，可以通过特定的公式或定理得到其函数的分布。定义随机变量的函数的分布

PART02数学期望的定义与性质

对于离散型随机变量，其数学期望是所有可能取值与其对应概率的乘积之和。对于连续型随机变量，其数学期望是概率密度函数与自变量的乘积在整个取值范围内的积分。离散型随机变量连续型随机变量数学期望的定义

线性性质数学期望具有线性性质，即对于任意常数a和b，以及随机变量X和Y，有E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)。常数的数学期望常数的数学期望等于该常数本身。独立性如果两个随机变量相互独立，则它们的数学期望等于各自数学期望的乘积。数学期望的性质030201

二项分布二项分布的数学期望等于np，其中n是试验次数，p是每次试验成功的概率。泊松分布泊松分布的数学期望等于λ，其中λ是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率。正态分布正态分布的数学期望等于μ，其中μ是正态分布的平均值。常见分布的数学期望

随机变量函数的数学期望对于一元函数Y=g(X)，如果X是随机变量，则Y也是随机变量，且Y的数学期望可以通过对g(X)求数学期望得到。一元函数对于多元函数Z=h(X,Y)，如果X和Y是随机变量，则Z也是随机变量，且Z的数学期望可以通过对h(X,Y)求数学期望得到。需要注意的是，在求多元函数数学期望时，需要考虑到X和Y之间的相关性。多元函数

PART03方差与协方差

方差的定义与性质

03独立性如果两个随机变量相互独立，则它们的方差之和等于各自方差的和。01非负性D(X)≥0，当且仅当X以概率1取常数时，D(X)=0。02线性变换性质对于任意常数a和b，有D(aX+b)=a2D(X)。方差的定义与性质

第二季度第一季度第四季度第三季度定义对称性线性变换性质独立性协方差的定义与性质协方差是衡量两个随机变量变化趋势的一个数字特征，用Cov(X,Y)表示。它等于X与Y的均值之差的乘积的平均值。当Cov(X,Y)0时，表明X与Y正相关；当Cov(X,Y)0时，表明X与Y负相关；当Cov(X,Y)=0时，表明X与Y不相关。Cov(X,Y)=Cov(Y,X)。对于任意常数a、b、c和d，有Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y)。如果两个随机变量相互独立，则它们的协方差为0。

定义相关系数是衡量两个随机变量之间线性相关程度的一个数字特征，用ρ表示。它等于两个随机变量的协方差除以它们各自标准差的乘积。相关系数的取值范围为[-1,1]，当ρ=1时，表明X与Y完全正相关；当ρ=-1时，表明X与Y完全负相关；当ρ=0时，表明X与Y不相关。无量纲性相关系数是一个无量纲的数字特征，不受随机变量计量单位的影响。对称性ρ(X,Y)=ρ(Y,X)。线性变换不变性对于任意常数a、b、c和d（a、c≠0），有ρ(aX+b,cY+d)=ρ(X,Y)关系数及其性质

多维随机变量的数学期望设(X?,X?,…,X?)是一个n维随机变量，若每个分量Xi(i=1,2,…,n)的数学期望E(Xi)都存在，则称E(X?),E(X?),…,E(X?)为多维随机变量(X?,X?,…,X?)的数学期望。要点一要点二多维随机变量的方差设(X?,X?,…,X?)是一个n维随机变量，若每个分量Xi(i=1,2,…,n)的方差D(Xi)都存在，则称D(X?),D(X?),…,D(X?)为多维随机变量(X?,X?,…,X?)的方差。此外，还可以定义多维随机变量之间的协