概率论与数理统计随机向量及其分布.pptxVIP

汇报人：AA2024-01-20概率论与数理统计随机向量及其分布

目录随机向量基本概念二维随机变量及其分布随机向量的数字特征条件分布与独立性多维随机变量及其分布随机向量在统计分析中的应用

01随机向量基本概念Part

定义与性质定义随机向量是指由多个随机变量构成的向量。这些随机变量定义在同一个样本空间上，取值于不同的实数空间。性质随机向量具有与随机变量类似的性质，如独立性、相关性等。此外，随机向量的分布函数描述了其取值的概率分布特性。

定义联合分布函数用于描述多个随机变量（即随机向量）同时取值的概率分布。对于二维随机向量(X,Y)，其联合分布函数F(x,y)表示X取值小于等于x且Y取值小于等于y的概率。性质联合分布函数具有非负性、单调不减性、右连续性等性质。此外，通过联合分布函数可以求得随机向量的各种概率。应用联合分布函数在多维随机变量的概率计算、条件概率和独立性判断等方面有广泛应用。010203联合分布函数

定义边缘分布函数是指多维随机向量中某一分量的概率分布函数。对于二维随机向量(X,Y)，X的边缘分布函数FX(x)表示X取值小于等于x的概率，Y的边缘分布函数FY(y)表示Y取值小于等于y的概率。性质边缘分布函数具有与一维随机变量分布函数相同的性质，如非负性、单调不减性、右连续性等。此外，边缘分布函数可以由联合分布函数求得。应用边缘分布函数在多维随机变量的概率计算、条件概率和独立性判断等方面有重要应用。例如，在判断两个随机变量是否独立时，可以通过比较它们的联合分布函数与边缘分布函数的乘积是否相等来进行判断。边缘分布函数

02二维随机变量及其分布Part

二维离散型随机变量联合分布律描述二维离散型随机变量取各个值时的概率。边缘分布律通过联合分布律求得其中一个随机变量的分布律。条件分布律在已知一个随机变量取值的条件下，另一个随机变量的分布律。

联合概率密度函数描述二维连续型随机变量的概率分布情况，其值表示随机变量落在某区域的概率大小。边缘概率密度函数通过联合概率密度函数求得其中一个随机变量的概率密度函数。条件概率密度函数在已知一个随机变量取值的条件下，另一个随机变量的概率密度函数。二维连续型随机变量

二维均匀分布在某一矩形区域内，随机变量取各点的概率相等。二维正态分布两个随机变量均服从正态分布，且它们之间存在线性关系。圆形区域内的二维均匀分布在某一圆形区域内，随机变量取各点的概率相等。其他二维连续型分布如二维指数分布、二维泊松分布等，这些分布在某些特定问题中有重要应用。常见的二维连续型分布

03随机向量的数字特征Part

描述随机向量取值的“中心位置”或“平均水平”，是随机向量各分量概率加权的平均值。数学期望衡量随机向量取值的离散程度，即各分量与数学期望的偏离程度。方差越大，说明随机向量的取值越分散。方差数学期望与方差

协方差衡量两个随机变量变化趋势的统计量。若两个随机变量的变化趋势一致，则协方差为正；若变化趋势相反，则协方差为负；若变化趋势无关，则协方差为零。相关系数将协方差标准化后的统计量，用于消除量纲影响，更准确地反映两个随机变量之间的线性相关程度。相关系数的取值范围为[-1,1]，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示不相关。协方差与相关系数

VS描述随机向量分布形态的统计量，包括一阶原点矩（即数学期望）和二阶中心矩（即方差）。高阶矩可以进一步描述分布的偏态和峰态等特征。协方差矩阵由随机向量的各分量之间的协方差构成的矩阵。协方差矩阵描述了随机向量各分量之间的线性相关关系，是多元统计分析中的重要工具。通过协方差矩阵可以求解主成分分析、因子分析等问题。矩矩与协方差矩阵

04条件分布与独立性Part

条件分布律设(X,Y)为离散型随机向量，其联合分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…。若P{X=xi}0，则称P{Y=yj|X=xi}=pij/P{X=xi}为在X=xi条件下Y的条件分布律。要点一要点二条件密度函数设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，(X,Y)关于Y的边缘概率密度为fY(y)。若对于固定的y，fY(y)0，则称f(x,y)/fY(y)为Y=y的条件下X的条件概率密度，记为fX|Y(x|y)=f(x,y)/fY(y)。条件分布律与条件密度函数

随机变量的独立性设F(x,y)及Fx(x),Fy(y)分别是二维随机变量(X,Y)的联合分布函数及关于X和Y的边缘分布函数。若对所有的x和y有F(x,y)=Fx(x)Fy(y)，则称随机变量X和Y是独立的。定义对于离散型随机变量，可以通过联合分布律判断；对于连续型随机变量，可以通过联合密度函数判断。若联合分布律或联合密度函数可以分解为两个边缘分布律或边缘密度函数的乘积，则随机变量相互独立。判定方法

如果两个随机变量的