概率论与数理统计随机变量函数的分布.pptxVIP

概率论与数理统计随机变量函数的分布汇报人：AA2024-01-19

contents目录随机变量及其分布一维随机变量函数的分布多维随机变量及其分布多维随机变量函数的分布特征函数与概率母函数大数定律与中心极限定理

随机变量及其分布01

随机变量的定义与性质定义随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。性质随机变量具有可测性，即对于任意实数x，随机变量的取值小于等于x的事件是一个可测事件。

离散型随机变量是指其取值是有限个或可列个的随机变量。定义离散型随机变量的分布律可以用概率质量函数来描述，即随机变量取各个值的概率。分布律离散型随机变量及其分布律

定义连续型随机变量是指其取值是连续不断的随机变量，可以取某一区间或整个实数轴上的任意值。概率密度连续型随机变量的概率密度函数是一个非负可积函数，它描述了随机变量在各个取值点的概率分布情况。连续型随机变量及其概率密度

随机变量的数学期望与方差随机变量的数学期望是描述随机变量取值“平均水平”的一个量，它是随机变量所有可能取值的概率加权和。数学期望随机变量的方差是描述随机变量取值与其数学期望的偏离程度的一个量，它是随机变量与其数学期望之差的平方的数学期望。方差

一维随机变量函数的分布02

定义设$X$是一个随机变量，$g(x)$是定义在$X$取值范围上的实函数，则$Y=g(X)$称为一维随机变量函数。要点一要点二性质一维随机变量函数$Y=g(X)$的分布完全由$X$的分布和函数$g(x)$确定。一维随机变量函数的定义与性质

VS若$X$是离散型随机变量，其分布律为$P{X=x_k}=p_k,k=1,2,cdots$，则$Y=g(X)$的分布律可通过计算$P{Y=y_i}=sum_{g(x_k)=y_i}p_k$求得。常见分布离散型一维随机变量函数常见的分布有二项分布、泊松分布等。分布律求法离散型一维随机变量函数的分布

若$X$是连续型随机变量，其概率密度为$f_X(x)$，则$Y=g(X)$的概率密度$f_Y(y)$可通过计算$f_Y(y)=int_{-infty}^{+infty}f_X(x)|J|dx$求得，其中$J=frac{dg^{-1}(y)}{dy}$为雅可比行列式。连续型一维随机变量函数常见的分布有正态分布、指数分布等。分布密度求法常见分布连续型一维随机变量函数的分布

若$X$的数学期望存在，记为$E(X)$，则$Y=g(X)$的数学期望为$E(Y)=E[g(X)]=int_{-infty}^{+infty}g(x)f_X(x)dx$（连续型）或$E(Y)=E[g(X)]=sum_{k=1}^{infty}g(x_k)p_k$（离散型）。数学期望若$X$的方差存在，记为$D(X)$，则$Y=g(X)$的方差为$D(Y)=E[(Y-E(Y))^2]=E[(g(X)-E[g(X)])^2]$。方差一维随机变量函数的数学期望与方差

多维随机变量及其分布03

定义多维随机变量是指取值在多维空间中的随机变量，通常表示为$X=(X_1,X_2,...,X_n)$，其中$X_i$是一维随机变量。性质多维随机变量具有一些重要的性质，如联合分布函数、联合概率密度函数、边缘分布函数、条件分布函数等。多维随机变量的定义与性质

定义二维离散型随机变量是指取值在二维平面上的离散点的随机变量，通常表示为$(X,Y)$。分布律二维离散型随机变量的分布律可以用联合概率分布表或联合概率分布图来表示。联合概率分布表列出了所有可能的取值组合及其对应的概率，而联合概率分布图则通过图形展示了这些概率的分布情况。二维离散型随机变量及其分布律

定义二维连续型随机变量是指取值在二维平面上的连续区域的随机变量，通常表示为$(X,Y)$。概率密度二维连续型随机变量的概率密度函数$f(x,y)$描述了随机变量在二维平面上取值的概率分布情况。概率密度函数的值表示在该点附近取值的概率大小，而整个平面上的概率密度函数积分等于1。二维连续型随机变量及其概率密度

边缘分布是指多维随机变量中某一维或某几维的分布情况。对于二维随机变量$(X,Y)$，其边缘分布分别为$X$的分布和$Y$的分布。边缘分布可以通过对联合分布函数或联合概率密度函数进行积分得到。边缘分布条件分布是指在多维随机变量中，当某一维或某几维的取值已知时，其他维的分布情况。对于二维随机变量$(X,Y)$，当$X=x$时，$Y$的条件分布描述了在该条件下$Y$的取值情况。条件分布可以通过对联合概率密度函数进行条件化得到。条件分布边缘分布与条件分布

多维随机变量函数的分布04

多维随机变量函数的定义与性质定义多维随机变量函数是指将多维随机变量映射到实数域上的函数。性质多维随机变量函数具有一些重要的性质，如单调性、可加性、连续性等。这些性质在概率