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概率论与数理统计随机变量的概念汇报人：AA2024-01-19

CATALOGUE目录随机变量基本概念常见离散型随机变量及其分布常见连续型随机变量及其分布随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理参数估计与假设检验

随机变量基本概念01

定义与性质随机变量定义随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。随机变量的性质随机变量具有可测性，即对于任意实数x，随机变量的取值小于等于x的事件是一个可测事件。

取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。例如，掷一颗骰子出现的点数就是一个离散型随机变量。离散型随机变量取值充满某个区间的随机变量，称为连续型随机变量。例如，测量某物体的长度，其可能取值充满某个区间，是一个连续型随机变量。连续型随机变量离散型与连续型随机变量

分布函数对于随机变量X，称函数F(x)=P{X≤x}为X的分布函数。分布函数具有单调不减、右连续等性质，且F(-∞)=0，F(+∞)=1。概率密度函数对于连续型随机变量X，如果存在非负函数f(x)，使得对任意实数ab，有P{aX≤b}=∫f(x)dx(积分下限为a，上限为b)，则称f(x)为X的概率密度函数。概率密度函数具有非负性、规范性等性质。分布函数与概率密度函数

常见离散型随机变量及其分布02

010203定义二项分布是一种离散型概率分布，描述了在n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。其中，每次试验只有两种可能结果，成功或失败，且成功的概率在每次试验中均相等。概率质量函数二项分布的概率质量函数为C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数，即从n个不同元素中取出k个元素的组合数，p表示单次试验成功的概率，n表示试验次数，k表示成功的次数。期望和方差二项分布的期望为n*p，方差为n*p*(1-p)。二项分布

定义泊松分布是一种离散型概率分布，用于描述在给定时间间隔或空间内发生随机事件次数的概率分布。泊松分布通常用于建模等待时间、计数过程等问题。概率质量函数泊松分布的概率质量函数为λ^k*e^(-λ)/k!，其中λ表示单位时间或空间内随机事件的平均发生率，k表示实际发生的事件次数。期望和方差泊松分布的期望和方差均为λ。泊松分布

定义几何分布是一种离散型概率分布，描述了在伯努利试验中首次成功所需试验次数的概率分布。其中，每次试验只有两种可能结果，成功或失败，且成功的概率在每次试验中均相等。概率质量函数几何分布的概率质量函数为(1-p)^(k-1)*p，其中p表示单次试验成功的概率，k表示首次成功所需的试验次数。期望和方差几何分布的期望为1/p，方差为(1-p)/p^2。几何分布

超几何分布概率质量函数超几何分布的概率质量函数为C(K,k)*C(N-K,n-k)/C(N,n)，其中N表示总体样本数量，K表示总体中成功样本的数量，n表示抽取的样本数量，k表示抽取到的成功样本数量。C(n,k)表示组合数。定义超几何分布是一种离散型概率分布，描述了在不放回的抽样中抽取到指定数量成功样本的概率分布。其中，总体由成功和失败两类样本组成，且抽取的样本数量固定。期望和方差超几何分布的期望为n*K/N，方差为n*(K/N)*(1-K/N)*((N-n)/(N-1))。

常见连续型随机变量及其分布03

性质均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U(a,b)。应用均匀分布在自然情况下极为罕见，同样来由的是指数分布，像身高、体重、成绩分数的情况，都属于指数分布。定义在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。均匀分布

要点三定义指数分布是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。要点一要点二性质许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况。应用在日本的工业标准和美国军用标准中，半导体器件的抽验方案都是采用指数分布。此外，指数分布还大量用在寿命试验中，所谓寿命试验就是研究产品寿命特征的实验，这种方法是在模拟实际工作条件下进行的。要点三指数分布

定义：正态分布（Normaldistribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussiandistribution），最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。性质