高中专题复习及考试要求 第七章 立体几何与空间向量 第5节 直线、平面垂直的判定与性质.pptVIP

第5节直线、平面垂直的判定与性质;1.直线与平面垂直;(2)判定定理与性质定理;2.直线和平面所成的角;3.二面角;(2)判定定理与性质定理;[常用结论与微点提醒]

1.两个重要结论

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).

2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.

3.三种垂直关系的转化;诊断自测;解析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l?α或l∥α，故(1)错误.

(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.

(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.

(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误.

答案(1)×(2)×(3)×(4)×;2.(新教材必修第二册P162T3改编)设α，β为两个不同的平面，直线l?α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的()

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析依题意，由l⊥β，l?α，可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l?α不能推出l⊥β，因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A.

答案A;3.(老教材必修2P67练习T2改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.

(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；

(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.

解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.;(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.因为PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，所以PC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，所以PC⊥AB，因为PO⊥AB，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心.;4.(2019·安徽江南十校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重???的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()

A.α⊥β且m?α B.m⊥n且n∥β

C.m∥n且n⊥β D.m⊥n且α∥β

解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确.

答案C;5.(2020·湖南湘东南五校联考)已知两个平面垂直，有下列命题：

①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；

②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；

③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.

其中正确命题的个数是()

A.3 B.2 C.1 D.0;解析如图，①在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D?平面ADD1A1，BD?平面ABCD，但A1D与BD不垂直，故①错；

②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，l是平面ADD1A1内任意一条直线，l与平面ABCD内和AB平行的所有直线垂直，故②正确；

③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D?平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故③错；;④在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，过交线AD上的任一点作交线的垂线l，则l可能与平面ABCD垂直，也可能与平面ABCD不垂直，故④错.故选C.

答案C;6.(多选题)(2020·济南调研)已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列命题中正确的有()

A.PB⊥AD

B.平面PAB⊥平面PAE

C.BC∥平面PAE

D.直线PD与平面ABC所成的角为45°;解析由于六边形ABCDEF是正六边形，于是∠DAB＝60°，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，若PB⊥AD，又因为PA∩PB＝P，则AD⊥平面PAB，故AD垂直于平面PAB内的任意一条直线，因此AD⊥AB，这与∠DAB＝60°矛盾，故假设