概率论与数理统计第2版多维随机变量及其分布.pptxVIP

汇报人：AA2024-01-19概率论与数理统计第2版多维随机变量及其分布

目录CONTENTS多维随机变量基本概念多维随机变量数字特征常用多维随机变量分布多维随机变量函数的分布多维随机变量独立性及条件独立性多维随机变量在统计分析中应用举例

01多维随机变量基本概念

定义与性质多维随机变量定义多维随机变量是指取值于多维空间中的随机变量，通常表示为$X=(X_1,X_2,...,X_n)$，其中$X_i$是一维随机变量。性质多维随机变量具有一些基本性质，如可加性、可乘性、期望和方差的性质等。这些性质在处理多维随机变量时非常重要。

多维随机变量的联合分布函数描述了多维随机变量取某个值或某个值域内的概率。对于连续型多维随机变量，联合分布函数表示为$F(x_1,x_2,...,x_n)$，对于离散型多维随机变量，联合分布函数表示为$P(X_1=x_1,X_2=x_2,...,X_n=x_n)$。联合分布函数定义联合分布函数具有非负性、规范性、单调不减性等基本性质。性质联合分布函数

边缘分布函数定义多维随机变量的边缘分布函数是指固定某些维度的取值后，其他维度的随机变量的分布函数。例如，对于二维随机变量$(X,Y)$，$X$的边缘分布函数为$F_X(x)$，$Y$的边缘分布函数为$F_Y(y)$。性质边缘分布函数具有与联合分布函数类似的性质，如非负性、规范性等。此外，边缘分布函数与联合分布函数之间存在一定关系，可以通过联合分布函数求得边缘分布函数。边缘分布函数

条件分布函数多维随机变量的条件分布函数是指在给定某些维度的取值条件下，其他维度的随机变量的分布函数。例如，对于二维随机变量$(X,Y)$，在给定$X=x$的条件下，$Y$的条件分布函数为$F_{Y|X}(y|x)$。条件分布函数定义条件分布函数具有与联合分布函数和边缘分布函数类似的性质。此外，条件分布函数与联合分布函数和边缘分布函数之间也存在一定关系，可以通过这些关系求得条件分布函数。性质

02多维随机变量数字特征

数学期望描述多维随机变量取值的“中心位置”，是各维度随机变量期望的向量。方差衡量多维随机变量各维度取值的离散程度，是各维度随机变量方差的矩阵。数学期望与方差

VS反映多维随机变量各维度之间的线性相关程度，正值表示正相关，负值表示负相关，零表示不相关。相关系数标准化后的协方差，消除了量纲影响，更直观地刻画了多维随机变量各维度之间的线性相关程度。协方差协方差与相关系数

多维随机变量的各阶原点矩和中心矩可以描述其分布形态，如偏度、峰度等。多维随机变量的二阶中心矩构成的矩阵，描述了各维度之间的协方差关系，是研究多维随机变量性质的重要工具。矩协矩阵矩与协矩阵

特征函数多维随机变量的特征函数是其分布函数的傅里叶变换，包含了多维随机变量的全部统计信息，是研究多维随机变量性质的有效工具。母函数多维随机变量的母函数是各维度随机变量母函数的乘积，通过母函数可以方便地求出多维随机变量的各阶矩和概率分布等统计信息。特征函数与母函数

03常用多维随机变量分布

在二维平面上，如果随机变量(X,Y)的概率密度函数是一个常数，则称(X,Y)服从二维均匀分布。定义性质应用二维均匀分布具有均匀性，即在其定义域内，任意子区域的概率只与该子区域的面积成正比。常用于描述在平面区域内随机点的分布情况，如蒙特卡洛模拟等。二维均匀分布

定义如果二维随机变量(X,Y)的概率密度函数具有高斯函数的形式，则称(X,Y)服从二维正态分布。性质二维正态分布具有对称性、可加性和连续性等性质。其概率密度函数的形状由均值向量和协方差矩阵决定。应用在统计学、经济学、金融学等领域中广泛应用，用于描述两个或多个变量之间的关系。二维正态分布

123多项分布是二项分布的扩展，描述了一个试验有n个可能的结果，进行m次独立重复试验后，各个结果出现的次数的概率分布。定义多项分布具有可加性和多峰性等性质。当试验次数m足够大时，多项分布近似于正态分布。性质在统计学、生物信息学、自然语言处理等领域中广泛应用，如文本分类、基因表达数据分析等。应用多项分布

性质Dirichlet分布具有共轭性、可加性和对称性等性质。其概率密度函数的形状由参数向量决定。应用常用于描述多元随机变量的分布情况，如自然语言处理中的主题模型、生物信息学中的基因表达数据分析等。定义Dirichlet分布是一种在多元统计分析中常用的连续概率分布，它是Beta分布在多元情况下的扩展。Dirichlet分布

04多维随机变量函数的分布

03在某些特殊情况下，如正态分布，和的分布具有封闭性，即两个正态分布的随机变量的和仍然服从正态分布。01若两个随机变量相互独立，则它们的和的概率密度函数等于各自概率密度函数的卷积。02对于非独立的随机变量，其和的分布需要通过联合概率密度函数进行求解。和