概率论与数理统计3.1.2二维离散型随机变量及其联合分布律.pptxVIP

概率论与数理统计3.1.2二维离散型随机变量及其联合分布律汇报人：AA2024-01-19

目录CONTENTS二维离散型随机变量基本概念联合分布律及其性质条件分布律及独立性判断二维离散型随机变量函数及其分布多元离散型随机变量简介总结回顾与拓展延伸

01二维离散型随机变量基本概念

定义与性质定义二维离散型随机变量是指定义在二维整数空间上的随机变量，其取值是离散的整数点。性质二维离散型随机变量具有离散性和二维性，即其取值不仅是离散的，而且分布在二维平面上。

示例假设有一个质地不均匀的骰子，其六个面上的点数分别为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)。每次投掷这个骰子，得到的点数就是一个二维离散型随机变量的取值。应用场景二维离散型随机变量在实际问题中有着广泛的应用，如图像处理、自然语言处理等领域中的文本分类、情感分析等任务中，经常需要将文本数据转换为二维离散型随机变量的形式进行处理。示例与应用场景

VS二维离散型随机变量可以看作是两个一维离散型随机变量的组合，即每个二维离散型随机变量的取值都可以表示为两个一维离散型随机变量的取值组合。区别与一维离散型随机变量相比，二维离散型随机变量的取值空间更加复杂，需要考虑两个维度上的变化。同时，在处理二维离散型随机变量时，需要引入联合分布律等概念来描述其统计规律。联系与一维随机变量关系

02联合分布律及其性质

设$X$和$Y$是两个离散型随机变量，其所有可能取值的组合为$(x_i,y_j)$，其中$i,j=1,2,ldots$。称$P{X=x_i,Y=y_j}$为$X$和$Y$的联合概率，简称联合概率。定义所有联合概率$P{X=x_i,Y=y_j}$的集合称为$X$和$Y$的联合分布律。联合分布律联合分布律定义

对于所有的$(x_i,y_j)$，都有$P{X=x_i,Y=y_j}geq0$。非负性$sum_{i}sum_{j}P{X=x_i,Y=y_j}=1$，即所有联合概率之和为1。归一性若$(x_i,y_j)neq(x_k,y_l)$，则事件${X=x_i,Y=y_j}$与事件${X=x_k,Y=y_l}$是互斥的。互斥性联合分布律性质

边缘分布律计算设$(X,Y)$是二维离散型随机变量，对于固定的$x_i$，随机变量$Y$的条件分布律为$P{Y=y_j|X=x_i}$，称为$(X,Y)$关于$X=x_i$的边缘分布律。同理，对于固定的$y_j$，随机变量$X$的条件分布律为$P{X=x_i|Y=y_j}$，称为$(X,Y)$关于$Y=y_j$的边缘分布律。边缘分布律定义边缘分布律可以通过对联合分布律进行求和得到。具体地，对于离散型随机变量$(X,Y)$，其关于$X$的边缘分布律为$P{X=x_i}=sum_{j}P{X=x_i,Y=y_j}$，关于$Y$的边缘分布律为$P{Y=y_j}=sum_{i}P{X=x_i,Y=y_j}$。边缘分布律计算

03条件分布律及独立性判断

条件分布律定义条件分布律描述的是在一个随机变量取某值的条件下，另一个随机变量的分布情况。对于二维离散型随机变量(X,Y)，在X=x的条件下，Y的条件分布律为P{Y=y|X=x}。条件分布律计算条件分布律的计算公式为P{Y=y|X=x}=P{X=x,Y=y}/P{X=x}。其中，P{X=x,Y=y}是联合分布律，P{X=x}是X的边缘分布律。条件分布律定义及计算

如果二维离散型随机变量(X,Y)满足P{X=x,Y=y}=P{X=x}*P{Y=y}，则称X与Y相互独立。判断二维离散型随机变量是否独立，可以通过比较联合分布律和边缘分布律的乘积来实现。如果对于所有的x和y，都有P{X=x,Y=y}=P{X=x}*P{Y=y}，则X与Y相互独立。独立性定义独立性判断方法独立性判断方法

示例分析与讨论

示例分析与讨论010203|---|---|---|---||x1|0.1|0.2|0.3||X\Y|y1|y2|P{X=x}|

|x2|0.2|0.1|0.3||P{Y=y}|0.3|0.2||讨论：在实际问题中，判断二维离散型随机变量的独立性是非常重要的。如果两个随机变量相互独立，那么它们之间就没有相互影响，可以分别进行研究和分析。同时，独立性也是很多概率论和数理统计定理和公式的前提条件，因此在实际应用中需要注意判断和验证。010203示例分析与讨论

04二维离散型随机变量函数及其分布

离散型随机变量函数类型主要包括加法函数、乘法函数、最大值函数和最小值函数等。性质二维离散型随机变量函数的性质主要包括单调性、有