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I数理统计基本概念及参数估计汇报人：AA2024-01-19

目录contents数理统计基本概念参数估计方法参数估计性质评价线性模型参数估计非线性模型参数估计多元统计分析初步

01数理统计基本概念

总体研究对象的全体个体组成的集合，通常用一个随机变量X表示。样本从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用$X_1,X_2,...,X_n$表示。样本容量样本中包含的个体数目，用n表示。总体与样本030201

统计量样本的函数，用于描述样本特征，如样本均值、样本方差等。抽样分布统计量的概率分布，描述了统计量在多次抽样中的分布情况。抽样分布的性质包括期望、方差、分布形态等，决定了统计推断的准确性和可靠性。统计量与抽样分布

ABCD常用统计分布正态分布一种连续型概率分布，具有钟形曲线形态，广泛应用于自然现象和社会科学等领域。F分布一种连续型概率分布，用于描述两个独立随机变量的方差比值的抽样分布情况。t分布一种连续型概率分布，用于描述小样本情况下均值的抽样分布情况。卡方分布一种连续型概率分布，用于描述多个独立随机变量的平方和的抽样分布情况。

02参数估计方法

定义点估计是用样本统计量来估计总体参数，因为样本统计量为数轴上某一点值，估计结果也以一个点的数值表示，所以称为点估计。优点简单易行，能够提供总体参数的近似值。缺点无法给出估计的精度和置信度。点估计

优点能够给出总体参数估计的精度和置信度，提供更多的信息。缺点相对于点估计来说较为复杂。定义区间估计是在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减估计误差得到。区间估计

010203定义极大似然估计法是一种在统计学中常用的参数估计方法。它的基本思想是，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。优点具有一致性、无偏性和有效性等优良性质，且计算相对简单。缺点在某些情况下，极大似然估计可能不存在或不唯一。此外，当样本量较小时，极大似然估计的精度可能会受到影响。极大似然估计法

03参数估计性质评价

无偏性01估计量的数学期望等于被估计参数的真实值。02无偏性保证了在多次重复抽样下，估计量的平均值能够接近参数的真实值。无偏性是评价估计量好坏的一个重要标准，但并非唯一标准。03

010203在无偏估计量中，方差最小的估计量被称为有效估计量。有效性反映了估计量的精度，即估计量与被估参数之间的接近程度。在实际应用中，通常选择方差较小、更有效的无偏估计量。有效性

一致性01当样本量逐渐增加时，估计量依概率收敛于被估参数的真实值。02一致性保证了在大样本情况下，估计量的值能够接近参数的真实值。03一致性是评价估计量好坏的另一个重要标准，尤其在大样本情况下更为重要。

04线性模型参数估计

通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。最小二乘法原理最小二乘估计量是待估参数的线性组合，且其期望等于待估参数的真值。线性无偏性在所有无偏估计量中，最小二乘估计量的方差最小。有效性最小二乘法原理及性质

广义最小二乘法异方差性处理当模型存在异方差性时，广义最小二乘法通过加权的方式对原模型进行变换，使得变换后的模型满足同方差性的假设。自相关性处理当模型的随机误差项存在自相关性时，广义最小二乘法可以通过引入自相关的结构信息，对模型进行修正。

通过引入L2正则项，对模型的系数进行惩罚，从而得到一组有偏但更为稳定的估计量。岭回归可以有效地解决多重共线性问题。通过引入L1正则项，对模型的系数进行惩罚，可以实现特征的选择和降维。Lasso回归在某些情况下可以得到稀疏解，即部分系数为零。岭回归和Lasso回归Lasso回归岭回归

05非线性模型参数估计

性质最小二乘估计具有无偏性，即估计量的期望值等于真实值。最小二乘估计具有有效性，即在所有无偏估计中，其方差最小。在一定条件下，最小二乘估计具有一致性，即随着样本量的增加，估计量会收敛到真实值。原理：通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配，适用于非线性模型参数估计。非线性最小二乘法原理及性质

原理：在每次迭代中，根据前一次迭代的残差对观测值进行加权，然后利用加权后的观测值进行最小二乘估计。通过多次迭代，逐步减小残差，提高估计精度。迭代步骤初始化参数估计值。计算残差，并根据残差计算权重。利用加权后的观测值进行最小二乘估计，更新参数估计值。重复以上步骤，直到满足收敛条件。迭代加权最小二乘法

贝叶斯估计法在已知先验分布的情况下，通过最大化后验分布来求解参数估计值，适用于具有不确定性的非线性问题。蒙特卡罗模拟法通过随机抽样和统计模拟来求解参数估计值，适用于复杂非线性问题，但计算量较大。最大似然估计法通过最大化似然函数来求解参数估计值，适用于具有明确概率分布模型的非线性问题。其他非线性估计方